2013-福建卷理-17 解-切线方程

本题导读

本题考查导数的应用。核心在于导数运算法、待定系数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年福建卷(理)） 已知函数 $f(x)=x-a\ln x$ ($a\in \mathbb{R}$).

(1)当 $a=2$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $A(1,f(1))$ 处的切线方程；

(2)求函数 $f(x)$ 的极值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定定义域：对数函数 $\ln x$ 要求 $x>0$。
2. 第一问（切线）：
   • 代入 $a=2$，求出 $f(1)$ 得到切点坐标。
   • 求导函数 $f^{\prime }(x)$，代入 $x=1$ 得到切线斜率 $k$。
   • 使用点斜式方程 $y-y_0=k(x-x_0)$ 并化简。
3. 第二问（极值）：
   • 求导得 $f^{\prime }(x)=1-\frac{a}{x}=\frac{x-a}{x}$。
   • 由于 $x>0$，导数的正负由分母 $x-a$ 决定。
   • 分类讨论：
     • 若 $a\le 0$，导数在定义域内恒大于 0，无极值。
     • 若 $a>0$，导数在 $x=a$ 处为 0，需判断两侧单调性确定极值类型。

✅【答案】

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无极值

✍【详细解析】

Abstract

函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty )$，求导得：$f^{\prime }(x)=1-\frac{a}{x}$。

（Ⅰ）解：当 $a=2$ 时 $f(x)=x-2\ln x$，则 $f(1)=1-2\ln 1=1$。切点为 $(1,1)$。 $f^{\prime }(x)=1-\frac{2}{x}$，则切线斜率 $k=f^{\prime }(1)=1-2=-1$。 切线方程为：$y-1=-1(x-1)$ 化简得：$x+y-2=0$。

（Ⅱ）解：由 $f^{\prime }(x)=\frac{x-a}{x}$ ($x>0$) 知：

① 当 $a\le 0$ 时，对于任意 $x\in (0,+\infty )$，都有 $f^{\prime }(x)>0$。 函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，故无极值。

② 当 $a>0$ 时，由 $f^{\prime }(x)=0$ 解得 $x=a$。

• 当 $x\in (0,a)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，函数 $f(x)$ 单调递减；
• 当 $x\in (a,+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，函数 $f(x)$ 单调递增。 因此，函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 处取得极小值。 极小值为 $f(a)=a-a\ln a$，无极大值。

综上所述：

• 当 $a\le 0$ 时，函数 $f(x)$ 无极值；
• 当 $a>0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 处取得极小值 $a-a\ln a$，无极大值。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的几何意义（切线）与一阶导数判别法（极值）。

核心方法：“分类讨论”。处理含参导函数时，导数零点是否落在定义域内、导数正负是否切换，是分类的关键依据。

避坑指南：- 始终注意定义域 $x>0$。 - 极值点是一个具体的点坐标的横坐标，而极值是指函数值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数的零点个数问题、恒成立问题（通常由极值转化而来）。

结论推广：见详细解析。

方法推广：对于 $f(x)=\frac{x}{a}-\ln x$ 等变形，分类讨论的思想完全一致。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2026-新高考I卷-04 单-切线方程
• 2025-新高考I卷-12 填-切线方程(缺思路分析)
• 2014-福建卷文-06 单-直线方程