2011-陕西卷文-03 单-均值不等式链排序

本题导读

本题考查不等式的大小比较，以及均值不等式。

📌【题干】

Question

（2011年陕西卷(文)） 设 $0<a<b$，则下列不等式中正确的是 ()

A. $a<b<\sqrt{ab}<\frac{a+b}{2}$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $a<\sqrt{ab}<\frac{a+b}{2}<b$

C. $a<\sqrt{ab}<b<\frac{a+b}{2}$　　　　　　　　　　　　　　　　D. $\sqrt{ab}<a<\frac{a+b}{2}<b$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：用 $a^2<ab<b^2$ 与 $\sqrt{ab}<\frac{a+b}{2}<b$ 串成不等式链

✅【答案】

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B$a<\sqrt{ab}<\frac{a+b}{2}<b$

✍【详细解析】

Abstract

由 $0<a<b$：$a^2<ab<b^2$，各边开算术平方根得 $a<\sqrt{ab}<b$。

又 $a<b$ 给出 $\frac{a+b}{2}<\frac{b+b}{2}=b$；由均值不等式 $\sqrt{ab}<\frac{a+b}{2}$（$a\ne b$ 时取不到等号）。

串联得 $a<\sqrt{ab}<\frac{a+b}{2}<b$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：不等式的基本性质；算术平均值与几何平均值的大小关系

核心方法：“平方—开方”得 $a<\sqrt{ab}<b$，再用均值不等式与放缩把 $\frac{a+b}{2}$ 插入正确位置

避坑指南：四个量 $a$，$\sqrt{ab}$，$\frac{a+b}{2}$，$b$ 的顺序是固定链条，$\sqrt{ab}$ 与 $\frac{a+b}{2}$ 的先后由均值不等式锁定，凭直觉把 $b$ 插到中间（如选项 C）或把 $\sqrt{ab}$ 排在 $a$ 前（如选项 D）都会出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：均值不等式链题与 2011-上海卷文-16、2014-浙江卷文-16 同族。

结论推广：推广：$0<a<b$ 时 $a<\sqrt{ab}<\frac{a+b}{2}<\frac{a^2+b^2}{a+b}$？不必记满——核心两条：几何平均夹在两数之间，算术平均大于几何平均（等号当且仅当两数相等）。

方法推广：多量排序题：先各自与端点比较，再用均值不等式定中间量的相对位置，取特值（如 $a=1$，$b=4$）可快速检验。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-16 单-均值不等式恒成立
• 2014-浙江卷文-16 填-均值不等式最值