2011-陕西卷文-16 解-折叠三棱锥垂直表面积

本题导读

本题考查翻折问题，以及面面垂直的判定。

📌【题干】

Question

（2011年陕西卷(文)） 如图，在 $△ABC$ 中，$\angle ABC=45^{\circ }$，$\angle BAC=90^{\circ }$，$AD$ 是 $BC$ 上的高.沿 $AD$ 把 $△ABD$ 折起，使 $\angle BDC=90^{\circ }$.

(1)证明：平面 $ADB\perp$ 平面 $BDC$；

(2)若 $BD=1$，求三棱锥 $D-ABC$ 的表面积.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：抓住”折痕 $AD$ 两侧不变的垂直关系”
2. 步骤2：证 $DC\perp$ 平面 $ADB$
3. 步骤3：由三线段两两垂直算各面面积

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) 表面积为 $\frac{3+\sqrt{3}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）折叠前 $AD\perp BC$，$DC$ 在直线 $BC$ 上，故 $AD\perp DC$。折叠沿 $AD$ 进行，$△ACD$ 内部的垂直关系不变，折叠后仍有 $AD\perp DC$；同理 $△ABD$ 形状不变，$AD\perp BD$。

又题设 $\angle BDC=90^{\circ }$，即 $BD\perp DC$。

于是 $DC$ 垂直于平面 $ADB$ 内两条相交直线 $AD$，$BD$，故 $DC\perp$ 平面 $ADB$。

又 $DC\subset$ 平面 $BDC$，所以平面 $ADB\perp$ 平面 $BDC$。

（2）$△ABC$ 中 $\angle BAC=90^{\circ }$，$\angle ABC=45^{\circ }$，故 $\angle ACB=45^{\circ }$，$AB=AC$。

$\mathrm{Rt}△ABD$ 与 $\mathrm{Rt}△ACD$ 中，斜边 $AB=AC$，公共直角边 $AD$，故 $BD=DC=1$。

$\angle ADB=90^{\circ }$，$\angle ABD=\angle ABC=45^{\circ }$，故 $\angle BAD=45^{\circ }$，$AD=BD=1$。

于是 $AB=\sqrt{A{D}^2+B{D}^2}=\sqrt{2}$，同理 $AC=\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{B{D}^2+D{C}^2}=\sqrt{2}$，$△ABC$ 是边长 $\sqrt{2}$ 的正三角形，面积 $\frac{\sqrt{3}}{4}\times (\sqrt{2}{)}^2=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

三个侧面 $DAB$，$DBC$，$DCA$ 都是直角边为 $1$ 的等腰直角三角形，面积均为 $\frac{1}{2}$。

故表面积 $S=\frac{\sqrt{3}}{2}+3\times \frac{1}{2}=\frac{3+\sqrt{3}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：翻折中的不变量（垂直关系）；线面垂直与面面垂直的判定；三棱锥表面积的分面计算

核心方法：翻折问题抓”折线两侧各平面图形形状不变”，把已知垂直关系原样搬到折叠后；表面积按四个面分别计算再求和

避坑指南：翻折后 $AD\perp DC$、$AD\perp BD$ 依然成立（各自所在的三角形没被折动），这是全题的根；折叠前 $\angle BDC$ 不是 $90^{\circ }$（$B$，$D$，$C$ 共线），它是折叠才产生的新条件，两者来源别混淆；求表面积别漏底面 $△ABC$，它是正三角形而不是等腰直角三角形。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：折叠三棱锥题与 2012-北京卷文-16、2012-江西卷文-19、2014-广东卷文-18 同族。

结论推广：推广：翻折问题的通用口诀——“折线是轴，两侧图形各自冻结”；折后产生的新垂直（如 $\angle BDC=90^{\circ }$）往往与原有垂直拼成线面垂直，进而得面面垂直。三线段两两垂直时，斜面（此处 $△ABC$）是正三角形当且仅当三线段等长。

方法推广：折叠立体几何题：先画”折前平面图 + 折后立体图”，标注哪些量不变、哪些量是折后新增；证明题沿”线线 $\to$ 线面 $\to$ 面面”三级推进。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质

类题演练 (Links)

• 2012-北京卷文-16 解-折叠与线面垂直
• 2012-江西卷文-19 解-折叠多面体垂直与体积