本题导读
本题考查折叠问题。核心在于中位线法、坐标法的灵活运用。
📌【题干】
Question
（2012年北京卷(文)） 如图 1，在 Rt 中，，、 分别是 、 的中点，点 为线段 上的一点，将 沿 折起到 的位置，使 ，如图 2.
(1)求证： 平面 ；
(2)求证：；
(3)线段 上是否存在点 ，使 平面 ？说明理由.（本小题共 分）
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🔍【思路分析】
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（1） 得线面平行；（2） 平面 得 ，结合 得 平面 ，故 ；（3） 为 的中点。
✅【答案】
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(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)存在， 为 的中点
✍【详细解析】
Abstract
（1）在原三角形中，、 分别为 、 的中点，故 。折叠不动 、，仍有 ；又 平面 ， 平面 ，故 平面 。
（2）原图中 ，，故 、。折叠不改变 ，故 ，；又 ，，故 平面 ，从而 。
又 （已知），， 平面 ，故 平面 ； 平面 ，所以 。
（3）存在。设 为 的中点，连接 、。
坐标验证：设 ，，，则 ，，。折叠后 （），由 得 。
。
；，；，。
故 ，，且 ，所以 平面 ，即存在点 为 的中点。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
核心考点：线面平行的判定；线面垂直的判定与性质；折叠中的不变量；存在性探究
核心方法：中位线平行 → 折叠不变角（）→ 线面垂直传递 → 坐标法找点
避坑指南：折叠问题的核心是”不变量”： 不动、、；（3）是存在性命题，须先答”存在”再定位（ 中点）并给出验证，只算不答会丢分。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源：折叠与垂直综合题，与 2013 年北京卷文第 17 题（线面垂直面面垂直）同族，是北京卷立体几何解答题的固定形态。
结论推广：一般地，沿中位线 折叠三角形后， 仍平行于第三边且垂直于折线两侧的相关线段；存在性问题用坐标法把”是否存在”化为方程是否有解。
方法推广：折叠立体几何三步：列不变量 → 线面垂直传递链 → 探究问建系算。
🔗【关联脉络】
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