2011-陕西卷理-07 单-指数

本题导读

本题考查二倍角余弦公式与三角函数值域，以及复数的代数除法与模长计算。

📌【题干】

Question

（2011年陕西卷(理)） 设集合 $M=\{y\mid y=|{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x|,x\in \mathbf{R}\}$，$N=\left\{x|\left|x-\frac{1}{\text{i}}\right|<\sqrt{2},\text{i}\text{ 为虚数单位},x\in \mathbf{R}\right\}$，则 $M\cap N$ 为 ()

A. $(0,1)$　　　　B. $(0,1]$　　　　C. $[0,1)$　　　　D. $[0,1]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简集合 $M$：利用二倍角公式 ${\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=\cos 2x$，求 $y=|\cos 2x|$ 的取值范围。
2. 化简集合 $N$：化简 $\frac{1}{\text{i}}=-\text{i}$，利用复数模的定义计算 $|x+\text{i}|=\sqrt{x^2+1}$，解不等式 $\sqrt{x^2+1}<\sqrt{2}$，求出实数 $x$ 的范围。
3. 求两个集合的交集 $M\cap N$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

1. 求集合 $M$： 因为 ${\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=\cos 2x$， 所以 $y=|\cos 2x|$。 因为 $x\in \mathbf{R}$，所以 $\cos 2x\in [-1,1]$， 从而 $y=|\cos 2x|\in [0,1]$。 所以集合 $M=[0,1]$。

2. 求集合 $N$： 由于 $\frac{1}{\text{i}}=\frac{-\text{i}}{-{\text{i}}^2}=-\text{i}$， 所以 $x-\frac{1}{\text{i}}=x+\text{i}$。 已知 $x\in \mathbf{R}$，则复数 $x+\text{i}$ 的模长为： $\left|x-\frac{1}{\text{i}}\right|=|x+\text{i}|=\sqrt{x^2+1^2}=\sqrt{x^2+1}$ 由题设不等式 $\sqrt{x^2+1}<\sqrt{2}$，两边平方得： $x^2+1<2⟹x^2<1⟹-1<x<1$ 所以集合 $N=(-1,1)$。

3. 求交集 $M\cap N$： $M\cap N=[0,1]\cap (-1,1)=[0,1)$ 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二倍角公式、模长绝对值求值域、复数除法及复数模、集合求交集。
• 核心方法：
• 三角函数化简求值域；
• 虚数单位性质 $\frac{1}{\text{i}}=-\text{i}$ 及实数 $x$ 下 $|x+\text{i}|=\sqrt{x^2+1}$；
• 端点开闭性确定。
• 避坑指南：
• 集合 $M$ 含有绝对值符号，值域下界为 0，即 $[0,1]$ 包含端点 0；
• 集合 $N$ 的不等号为严格小于“$<$”，解得开区间 $(-1,1)$，右端点 1 为开区间，交集必然在 1 处为开，避免误选 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：必修四三角变换与选修2-2复数概念在集合环境下的经典多模块融合题。
• 结论推广：集合小题常将三角函数的值域、复数的模、对数不等式的解集作为集合元素载体，核心在于将各模块知识分别精准化简为区间形式再行交并补运算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2009-陕西卷理-01
• 2013-江西卷理-01 单-集合交集
• 1986-全国理-18 解-对数不等式的求解