2011-陕西卷理-11 填-分段函数

本题导读

本题考查定积分的计算与微积分基本定理，以及分段函数的复合函数求值。

📌【题干】

Question

（2011年陕西卷(理)） 设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\lg x,& x>0\\ x+{\int }_0^{a}3t^2\text{d}t,& x⩽0\end{array}$.若 $f(f(1))=1$，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算内层函数值 $f(1)$：因为 $1>0$，代入 $x>0$ 的解析式得 $f(1)=\lg 1=0$。
2. 计算外层函数值 $f(f(1))=f(0)$：因为 $0⩽0$，代入 $x⩽0$ 的解析式。
3. 利用微积分基本定理计算定积分 ${\int }_0^{a}3t^2\text{d}t=[t^3{]}_0^a=a^3$。
4. 令 $f(0)=1$，解关于 $a$ 的代数方程。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

因为 $1>0$，根据分段函数解析式： $f(1)=\lg 1=0$ 所以： $f(f(1))=f(0)$ 因为 $x=0$ 满足 $x⩽0$，代入第二段解析式： $f(0)=0+{\int }_0^{a}3t^2\text{d}t$ 由微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）： ${\int }_0^{a}3t^2\text{d}t={\left[t^3\right]}_0^a=a^3-0^3=a^3$ 因此： $f(0)=a^3$ 已知 $f(f(1))=1$，所以： $a^3=1$ 解得实数： $a=1$ 故答案为：1。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：分段函数求值、对数特值 $\lg 1=0$、定积分基本定理。
• 核心方法：先内后外，由内层自变量确定选用哪一段解析式。
• 避坑指南：求导与积分方向不可弄反（$3t^2$ 的原函数是 $t^3$ 而非其导数 $6t$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：人教版选修2-2定积分与微积分基本定理与必修一分段函数求值的综合题。
• 结论推广：形如 ${\int }_0^{a}k{t}^{n-1}\text{d}t=\frac{k}{n}{a}^n$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2021-浙江卷-12 填-分段函数求值
• 2008-山东卷文-05 单-分段函数复合求值
• 2008-山东卷理-14