2008-山东卷文-05 单-分段函数复合求值

本题导读

$2>1$ 用第二段求 $f(2)=4$；$\frac{1}{4}⩽1$ 用第一段求 $f\left(\frac{1}{4}\right)$.

📌【题干】

Question

（2008年山东卷(文)） 设函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}1-x^2,& x⩽1,\\ x^2+x-2,& x>1,\end{array}$ 则 $f\left(\frac{1}{f(2)}\right)$ 的值为()

A. $\frac{15}{16}$　　　　　　B. $-\frac{27}{16}$　　　　　　C. $\frac{8}{9}$　　　　　　D. 18

🔍【思路分析】

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$f(2)=2^2+2-2=4$，$\frac{1}{f(2)}=\frac{1}{4}⩽1$，$f\left(\frac{1}{4}\right)=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$.

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

当 $x>1$ 时 $f(x)=x^2+x-2$，故 $f(2)=4+2-2=4$，$\frac{1}{f(2)}=\frac{1}{4}$. 因 $\frac{1}{4}⩽1$，故 $f\left(\frac{1}{4}\right)=1-{\left(\frac{1}{4}\right)}^2=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$，选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数的复合求值

核心方法：由内向外逐层代入，每层先判断所在区间再选解析式

避坑指南：$f(2)=4$ 用 $x>1$ 段，$$\begin{gathered} frac14 \\ leqslant1 \end{gathered}$$ 用第一段，判断区间别跳步；$1-f(x)$ 的平方别算成 $1-f(x^2)$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分段函数复合求值是函数概念基础题（2010 湖北文 3、2012 江西文 3）

结论推广：推广到多段嵌套 $f(f(f(a)))$，逐层判区间

方法推广：由内向外、每层先定位区间，是复合求值的唯一安全路径

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2010-湖北卷文-03 单-分段函数求值
• 2012-江西卷文-03 单-分段函数复合求值
• 2009-山东卷文-07 单-分段函数递推
• 2012-福建卷文-09 单-分段函数复合求值