本题导读
本题考查绝对值函数与几何距离模型，以及中位数求距离和极小值。
📌【题干】
Question
（2011年陕西卷(理)） 植树节某班 20 名同学在一frac一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10 米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为米.
🔍【思路分析】
破题导航
- 建立一维数轴：设 20 个树坑的位置坐标依次为 。
- 设树苗放置在第 个树坑处（坐标为 ），每位同学往返路程为其单程距离的 2 倍，即 。
- 总往返路程为 。根据绝对值几何意义，当 取在正中间的两点（即第 10 与第 11 个树坑之间或其上，如 或 ）时，绝对值之和取得最小值。
- 将两两对称点的距离配对计算出单程和，再乘以 2 即可求得往返最小总路程。
✅【答案】
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2000
✍【详细解析】
Abstract
建立一维数轴，将 20 个树坑自左向右编号为 。 相邻树坑间距为 10 米，各树坑在数轴上的坐标依次为： 设树苗集中放置在第 个树坑旁边（）。 每位同学从自己的树坑到树苗处往返一次，所走路程为 米。 全体 20 名同学往返所走的总路程为： 由绝对值的几何意义，数轴上一点到 20 个点的距离之和在取在这 20 个点的中位数处时达到最小。 即取在第 10 个树坑与第 11 个树坑之间的任意位置（包括端点）时总距离和均为最小。 不妨将树苗放置在第 10 个树坑（或第 11 个树坑）处，此时距离和最小。 将 20 个树坑由外向内两两配对： 第 1 个与第 20 个、第 2 个与第 19 个、、第 个与第 个（共 10 对）。 对于每一对 ，当取点在其之间时，满足： 所有同学单程行走的最小距离之和为： 括号内为首项为 1、末项为 19、公差为 2 的等差数列（前 10 个奇数之和）： 因此单程路程和最小值为： 因为每位同学均为“往返”，所以所走路程总和的最小值为： 故答案为：2000。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：中位数原则解决距离和最值问题（绝对值距离和极值模型）、等差数列求和。
- 核心方法：
- 对偶配对法：利用 两两首尾配对；
- 奇数和公式： 秒杀求和。
- 避坑指南：
- 题干明确要求“往返所走的路程”，必须乘以 2，切忌只计算单程得到 1000；
- 20 个点中间两点是第 10 和第 11，而非第 10.5。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：运筹学中的经典“一维设施选址问题（1D Facility Location Problem）”，最优位置必为所有目标位置的中位数点。
- 结论推广：数轴上任意 个等间距（间距为 ）点，到中位数的往返总路程恒为： 本题中 ，直接代入得 米。
🔗【关联脉络】
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