2011-陕西卷理-18 解-余弦定理

本题导读

本题考查余弦定理的内容表述。

📌【题干】

Question

（2011年陕西卷(理)） 叙述并证明余弦定理.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 叙述定理：准确用文字语言与符号语言描述三角形中任意一边的平方与其余两边及夹角余弦的关系。
2. 证明定理：

• 证明方法多样（向量法、坐标法、平面几何勾股定理法），其中人教版教材标准证明方法为向量数量积法；
• 设 $△ABC$ 中角 $A,B,C$ 对应的边为 $a,b,c$，表示向量关系 $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$；
• 两边取模平方，展开利用数量积公式化简即可完成证明。

✅【答案】

点击查看答案

待补

✍【详细解析】

Abstract

1. 余弦定理的叙述： 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 在 $△ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，则有： $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$ $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

2. 余弦定理的证明（向量法）： 在 $△ABC$ 中，设角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$。 由向量的减法运算法则，有： $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$ 两边取数量积（自身点乘），得： $|\overrightarrow{BC}{|}^2=|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}{|}^2$ $|\overrightarrow{BC}{|}^2=|\overrightarrow{AC}{|}^2+|\overrightarrow{AB}{|}^2-2\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}$ 因为： $|\overrightarrow{BC}|=a,|\overrightarrow{AC}|=b,|\overrightarrow{AB}|=c$ 且向量 $\overrightarrow{AC}$ 与 $\overrightarrow{AB}$ 的夹角为内角 $A$， 所以： $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AC}|\cdot |\overrightarrow{AB}|\cos A=bc\cos A$ 代入展开式中，得： $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ 同理，利用 $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}$ 和 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}$，可分别证得： $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$ $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ 定理得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：课本基础定理的文字表述、向量数量积的几何意义与代数运算。
• 核心方法：
• 向量法证明：利用基底向量差 $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$ 进行数量积平方展开，过程最简洁且无需对锐角、直角、钝角三角形进行分类讨论。
• 避坑指南：
• 叙述定理时，文字语言与符号语言需完整呈现，切勿只写一个式子；
• 若采用初中勾股定理作高线证明，必须针对锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三种情况进行分类讨论，否则会有失分风险；而向量法天然涵盖各种角，是最佳得分写法。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：直接取材于人教 A 版必修五第一章第一节《余弦定理》正文定理探究与推导原题，体现高考命题“题在书外，理在书中”的返璞归真导向。
• 结论推广：
• 当夹角为 $90^{\circ }$ 时，$\cos 90^{\circ }=0$，余弦定理退化为著名的勾股定理；
• 在欧氏空间任意三角形中，余弦定理对应于赋范内积空间中的平行四边形恒等式与范数极化恒等式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-05 单-余弦定理求角
• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2008-湖南卷文-11 填-向量模坐标运算