2012-上海卷文-16 单-椭圆与充要条件

本题导读

本题考查椭圆的标准方程，以及充分条件与必要条件。

📌【题干】

Question

（2012年上海卷(文)） 对于常数 $m$，$n$，"$mn>0$"是”方程 $m{x}^2+n{y}^2=1$ 表示的曲线是椭圆”的()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

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椭圆给出 $m,n>0$（必要）；但 $m=n>0$ 时曲线是圆，充分性不成立，选 B。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

必要性：若 $m{x}^2+n{y}^2=1$ 表示椭圆，则 $m>0$，$n>0$（且 $m\ne n$），故 $mn>0$ 成立。

充分性：取 $m=n=1$，则 $mn>0$，但 $x^2+y^2=1$ 表示圆，不是椭圆，充分性不成立。

故"$mn>0$"是”曲线是椭圆”的必要而不充分条件，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的标准方程；充分条件与必要条件

核心方法：正推验证必要性，反例否定充分性

避坑指南：上海教材中圆不算椭圆，$m=n$ 是现成反例；别忽略 $m{x}^2+n{y}^2=1$ 中 $m$、$n$ 同负时无图象的情形。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：充要条件与圆锥曲线结合题，与 2015 年上海卷文第 15 题、2014 年上海卷文第 15 题同族。

结论推广：方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a$，$b>0$，$a\ne b$）才是椭圆；$a=b$ 时为圆。

方法推广：充要条件判断：先正向推（必要性方向），再找反例（否定充分性）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2015-上海卷文-15 单-充要条件
• 2014-上海卷文-15 单-充要条件
• 2013-上海卷文-17 单-充分必要条件