2012-上海卷理-09 填-函数奇偶性

本题导读

本题考查奇函数的定义与性质，以及利用赋值法求复合关系的函数值。

📌【题干】

Question

（2012年上海卷(理)） 已知 $y=f(x)+x^2$ 是奇函数，且 $f(1)=1$.若 $g(x)=f(x)+2$，则 $g(-1)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 引入辅助函数：令 $h(x)=f(x)+x^2$，则 $h(x)$ 为奇函数。
2. 在已知点赋值：由 $f(1)=1$ 求出 $h(1)$。
3. 借助奇偶性过渡：由 $h(-1)=-h(1)$ 解出 $f(-1)$，再代入 $g(x)$。

✅【答案】

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$-1$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：设辅助函数并在已知点赋值 令 $h(x)=f(x)+x^2$，由题意 $h(x)$ 是奇函数。因为 $f(1)=1$，所以 $h(1)=f(1)+1^2=1+1=2$

第二步：利用奇函数性质求 $-1$ 处的值 由 $h(-x)=-h(x)$ 得 $h(-1)=-h(1)=-2$ 另一方面 $h(-1)=f(-1)+(-1{)}^2=f(-1)+1$，于是 $f(-1)+1=-2⟹f(-1)=-3$

第三步：计算 $g(-1)$ 由 $g(x)=f(x)+2$ 得 $g(-1)=f(-1)+2=-3+2=-1$

故填入答案为：$-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：奇函数的定义式 $h(-x)=-h(x)$；函数求值的整体代入思想。

核心方法：“赋值法”。把 $f(x)+x^2$ 视为一个整体，先在已知点赋值，再利用奇偶性把信息搬到对称点上。

避坑指南：- “$f(x)+x^2$ 是奇函数”并不等于“$f(x)$ 是奇函数”，二者相差一个偶函数 $x^2$。 - $g(x)=f(x)+2$ 是在 $f(x)$ 上加常数 $2$，不是加 $x^2$，代入前要看清函数关系式。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数奇偶性的判定与性质、函数值的常用求法（赋值法、整体代换）。

结论推广：若 $f(x)+\phi (x)$ 为奇函数且 $\phi (x)$ 为偶函数，则 $f(-x)=-f(x)-2\phi (x)$，由此可建立两个对称点之间的联系。

方法推广：当已知“$f$ 与某个已知函数的和（或差）具有奇偶性”时，一律采用整体处理，不必尝试单独求出 $f$ 的解析式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念 类题演练 (Links)

• 2012-广东卷文-04 单-函数奇偶性判断

• 2013-重庆卷文-09 单-奇函数求值

• 2017-江苏卷-11 填-函数性质