2012-上海卷理-16 单-解三角形

本题导读

本题考查正弦定理在边角互化中的应用，以及由边的关系判定三角形形状。

📌【题干】

Question

（2012年上海卷(理)） 在 $△ABC$ 中，若 ${\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B<{\sin }^{2}C$，则 $△ABC$ 的形状是()

A. 锐角三角形　　B. 直角三角形　　C. 钝角三角形　　D. 不能确定

🔍【思路分析】

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1. 统一对象：题设关于正弦的二次式，宜转化为关于边的二次式。
2. 正弦定理代入：由 $a=2R\sin A$ 等关系把 $\sin A,\sin B,\sin C$ 换成边。
3. 余弦定理判定：由边的平方关系判断最大角为钝角、直角还是锐角。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用正弦定理进行边角互化 设外接圆半径为 $R$，由正弦定理 $a=2R\sin A$，$b=2R\sin B$，$c=2R\sin C$，得 $\sin A=\frac{a}{2R},\sin B=\frac{b}{2R},\sin C=\frac{c}{2R}$

第二步：把题设转化为边的关系 代入 ${\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B<{\sin }^{2}C$，得 $\frac{a^2}{4R^2}+\frac{b^2}{4R^2}<\frac{c^2}{4R^2}$ 两边同乘 $4R^2$，得 $a^2+b^2<c^2$

第三步：由余弦定理判定形状 由余弦定理 $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ 因为 $a^2+b^2-c^2<0$ 且 $2ab>0$，所以 $\cos C<0$，即 $C\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$，角 $C$ 为钝角。

故 $△ABC$ 为钝角三角形，正确选项为：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理的边角互化功能，以及用余弦定理判定三角形的形状。

核心方法：“边角互化”。关于角的正弦的齐次关系式，借助 $a=2R\sin A$ 可整体平移到边上处理。

避坑指南：- 由 $a^2+b^2<c^2$ 只能判定角 $C$ 为钝角，不能进一步断定具体是哪一种钝角三角形（如等腰钝角）。 - 要注意选项“不能确定”的干扰：由严格不等式确能判定为钝角，因此“不能确定”不成立。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦定理、余弦定理、三角形形状的判定方法。

结论推广：设 $a\le b\le c$，则 $a^2+b^2$ 与 $c^2$ 的大小关系分别对应锐角、直角、钝角三角形。

方法推广：解三角形中的“形状判定”类选择题，统一思路是把给出的三角关系式转化为边长关系式，再对照余弦定理的符号。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

• 09.07三角形五心与奔驰定理 类题演练 (Links)

• 2006-安徽文-11 单-三角形形状判定

• 2012-江西卷理-04 单-解三角形

• 2013-湖南卷文-05 单-正弦定理求角