2012-上海卷理-18 单-数列与三角

本题导读

本题考查三角函数的周期性在数列求和中的运用，以及交错型数列部分和的正负判定。

📌【题干】

Question

（2012年上海卷(理)） 设 $a_n=\frac{1}{n}\sin \frac{n\pi }{25}$，$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$.在 $S_1,S_2,\cdots ,S_{100}$ 中，正数的个数是()

A. 25　　B. 50　　C. 75　　D. 100

🔍【思路分析】

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1. 拆成周期块：把 $a_n$ 按下标每 $25$ 个一组，利用 $\sin (m\pi +t)=(-1{)}^m\sin t$ 统一符号。
2. 比较块的大小：同一块内各项绝对值随下标增大而减小，得到各块“块和”递减。
3. 判断部分和符号：块和构成正负交替且绝对值递减的序列，故任意部分和恒为正。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：按周期把数列分块 记第 $m$ 块为 $n=25m+1,25m+2,\cdots ,25m+25$（$m=0,1,2,3$），由诱导公式 $\sin \frac{(25m+j)\pi }{25}=\sin \left(m\pi +\frac{j\pi }{25}\right)=(-1{)}^m\sin \frac{j\pi }{25}(1\le j\le 25)$ 故第 $m$ 块内第 $j$ 项为 $a_{25m+j}=(-1{)}^m\frac{1}{25m+j}\sin \frac{j\pi }{25}$

第二步：比较各块“块和”的绝对值 第 $m$ 块的和为 $T_m=(-1{)}^m\sum _{j=1}^{25}\frac{1}{25m+j}\sin \frac{j\pi }{25}$。 当 $1\le j\le 24$ 时 $\sin \frac{j\pi }{25}>0$，且 $\frac{1}{25m+j}$ 随 $m$ 增大而严格减小，因此 $|T_0|>|T_1|>|T_2|>|T_3|>0$ 其中 $j=25$ 的项因 $\sin \pi =0$ 而为零。

第三步：判定任意部分和 $S_n$ 的符号 块和序列为 $T_0,-|T_1|,T_2,-|T_3|$，是正负交替且绝对值严格递减的交错和，其任意前若干项之和均为正数，即对块端点下标有 $S_{25m+25}>0$。 在同一块内部：若 $m$ 为偶数，块内各项非负，$S_n$ 不减，故 $S_n\ge S_{25m}>0$； 若 $m$ 为奇数，块内各项非正，$S_n$ 不增，故 $S_n\ge S_{25m+25}>0$。 因此在 $n=1,2,\cdots ,100$ 上恒有 $S_n>0$，正数的个数为 $100$。

故正确选项为：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数的周期性与诱导公式，以及交错型数列部分和的符号分析。

核心方法：“分组求和”。按周期分组后，把无穷多个不同元的比较压缩为若干“块和”之间的比较。

避坑指南：- 第 $25$、$50$、$75$、$100$ 项的值为零（$\sin \pi$ 的整数倍），不要误认为它们改变了部分和的增减方向。 - 判断 $S_n>0$ 时要区分“块处于正号段”与“块处于负号段”两种情形分别说明，直接断言会失分。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦函数的周期性、诱导公式 $\sin (m\pi +t)=(-1{)}^m\sin t$、数列的前 $n$ 项和。

结论推广：若 $b_n$ 单调递减趋于 $0$，则 $\sum b_n\sin (n\theta )$ 型数列的部分和分析都可用类似的“分块 + 交错”方法处理。

方法推广：处理“三角函数与数列求和”的综合性问题，第一步永远是找公共周期并把下标按周期分块。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式 类题演练 (Links)

• 2005-湖南卷文-05 单-递推数列的周期性

• 1993-新高考文-04 单-虚数单位幂的周期性

• 2005-重庆卷文-22 解-递推数列取倒数与分组求和