2012-北京卷文-06 单-等比数列性质判断

本题导读

本题考查等比数列的性质，以及作差比较与分类讨论。

📌【题干】

Question

（2012年北京卷(文)） 已知 $\{a_n\}$ 为等比数列，下面结论中正确的是()

A. $a_1+a_3⩾2a_2$　　　　　　　　　　　　　　B. $a_1^2+a_3^2⩾2a_2^2$

C. 若 $a_1=a_3$，则 $a_1=a_2$　　　　　　　　　D. 若 $a_3>a_1$，则 $a_4>a_2$

🔍【思路分析】

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$a_1^2+a_3^2-2a_2^2=a_1^2(q^2-1{)}^2⩾0$ 恒成立，选 B；其余三项均可举反例。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设公比为 $q$。

(B)：$a_1^2+a_3^2-2a_2^2=a_1^2+a_1^2{q}^4-2a_1^2{q}^2=a_1^2(q^2-1{)}^2⩾0$，恒成立，正确。

(A)：$a_1+a_3-2a_2=a_1(q-1{)}^2$，当 $a_1<0$ 时小于 $0$，如 $a_1=-1$，$q=2$，错误。

(C)：$a_1=a_3\Rightarrow q^2=1\Rightarrow q=\pm 1$；$q=-1$ 时 $a_2=-a_1\ne a_1$，错误。

(D)：取 $a_1=1$，$q=-2$：$a_3=4>a_1=1$，但 $a_4=-8<a_2=-2$，错误。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列的通项；作差法与特殊值排除

核心方法：把各项都化成 $a_1$ 与 $q$ 的表达式作差；对含正负的结论举反例

避坑指南：等比数列各项符号由 $a_1$ 与 $q$ 共同决定——含"$⩾$"的结论必须先问”$a_1$ 的符号”；$q=-1$、$q<-1$ 是构造反例的高频入口。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列性质判断题，与 2012 年新课标Ⅰ文第 14 题、2013 年大纲卷理第 6 题同族。

结论推广：一般地，等比数列中 $a_1^2+a_3^2⩾2a_2^2$ 恒成立（即 $a_1,a_2,a_3$ 成等比时 $a_2^2=a_1{a}_3$，平方后非负），而一次式的不等号方向依赖符号。

方法推广：等比数列选择题：全部化成 $a_{1}q$ 表达式作差；判断错误选项直接构造 $q<0$ 或 $a_1<0$ 的反例。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷文-14 填-等比数列公比
• 2013-大纲卷文-07 单-等比数列求和