2013-大纲卷文-07 单-等比数列求和

本题导读

本题考查等比数列的通项公式，以及等比数列的前n项和。

📌【题干】

Question

（2013年大纲卷(文)） 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $3a_{n+1}+a_n=0$，$a_2=-\frac{4}{3}$，则 $\{a_n\}$ 的前 $10$ 项和等于()

A. $-6\left(1-3^{-10}\right)$　　B. $\frac{1}{9}\left(1-3^{10}\right)$　　C. $3\left(1-3^{-10}\right)$　　D. $3\left(1+3^{-10}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a_{n+1}=-\frac{1}{3}{a}_n$，公比 $q=-\frac{1}{3}$。
2. $a_2=q{a}_1\Rightarrow a_1=\frac{a_2}{q}=4$。
3. $S_{10}=\frac{4\left[1-{\left(-\frac{1}{3}\right)}^{10}\right]}{1+\frac{1}{3}}$。

✅【答案】

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（C）

✍【详细解析】

Abstract

由 $3a_{n+1}+a_n=0$ 得 $a_{n+1}=-\frac{1}{3}{a}_n,$ 故 $\{a_n\}$ 是公比 $q=-\frac{1}{3}$ 的等比数列。 由 $a_2=q{a}_1$： $a_1=\frac{a_2}{q}=\frac{-\frac{4}{3}}{-\frac{1}{3}}=4.$ 于是前 $10$ 项和 $S_{10}=\frac{a_1\left(1-q^{10}\right)}{1-q}=\frac{4\left[1-{\left(-\frac{1}{3}\right)}^{10}\right]}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}=\frac{4\left(1-3^{-10}\right)}{\frac{4}{3}}=3\left(1-3^{-10}\right).$ 选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列的通项与前 $n$ 项和

核心方法：由 $3a_{n+1}+a_n=0$ 得公比 $q=-\frac{1}{3}$，用 $a_2$ 反求 $a_1$ 后套求和公式

避坑指南：递推式 $3a_{n+1}+a_n=0$ 给出的是公比 $q=-\frac{1}{3}$，不是公差；求和公式分母是 $1-q=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$，负号与分数都要小心。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列（全国卷常考）。

结论推广：$a_{n+1}=q{a}_n⟺$ 等比数列；$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$（$q\ne 1$）。

方法推广：递推数列三步：化成 $a_{n+1}=q{a}_n$ 认出等比 → 求公比与首项 → 套求和公式并化简（负指数幂写成 $3^{-k}$ 形式）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-08 单-等比数列片段和
• 2013年大纲版理-6