2012-北京卷文-14 填-量词恒成立求范围

本题导读

本题考查逻辑量词与恒成立，以及二次函数的符号。

📌【题干】

Question

（2012年北京卷(文)） 已知 $f(x)=m(x-2m)(x+m+3)$，$g(x)=2^x-2$. 若对 $\forall x\in \mathbf{R}$，$f(x)<0$ 或 $g(x)<0$，则 $m$ 的取值范围是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$x<1$ 时 $g(x)<0$ 自动满足；只需 $f(x)<0$ 对 $x⩾1$ 恒成立，结合开口向下的抛物线解得 $m\in (-4,0)$。

✅【答案】

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$(-4,0)$

✍【详细解析】

Abstract

$g(x)=2^x-2<0⟺x<1$，故当 $x<1$ 时条件自动成立；于是只需 $f(x)<0$ 对一切 $x⩾1$ 成立。

若 $m⩾0$：$m=0$ 时 $f(x)\equiv 0$ 不满足；$m>0$ 时 $x\to +\infty$ 有 $f(x)\to +\infty$，不满足。故 $m<0$，抛物线开口向下，$f(x)<0$ 的解在两根 $2m$ 与 $-m-3$ 之外。

需 $[1,+\infty )$ 完全落在较大根的右侧，即 $\max \{2m,-m-3\}<1$：

$2m<1$ 对 $m<0$ 恒成立；$-m-3<1⟺m>-4$。

故 $m\in (-4,0)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：全称量词与”或”命题；含参二次函数的符号；指数不等式

核心方法：“或”拆解 → 找到自动满足的 $x$ 范围 → 剩余范围上恒成立 → 开口与根的位置定参

避坑指南：关键在翻译”或”：$x<1$ 时 $g(x)<0$ 已使命题成立，$f(x)$ 无任何要求；$x=1$ 时 $g(1)=0$ 不满足 $g<0$，必须由 $f(1)<0$ 兜底，故严格不等号 $m>-4$、$m<0$ 均取不到端点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：北京卷填空压轴（恒成立与量词），与 2013 年新课标Ⅰ文第 12 题、2012 年新课标Ⅰ文第 11 题（恒成立）同族，属”分段兜底”模型。

结论推广：一般地，”$\forall x$，$P(x)$ 或 $Q(x)$“的处理：找出 $Q(x)$ 恒真的区间，在剩余区间上要求 $P(x)$ 恒真，两段拼起来即参数范围。

方法推广：“或”命题恒成立先分区兜底：一个函数管一段，剩下的区间对另一函数提恒成立要求。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷文-12 单-分段函数恒成立
• 2012-新课标卷文-11 单-指对恒成立