2013-新课标I卷文-12 单-分段函数恒成立

本题导读

本题考查分段函数与绝对值，以及不等式的恒成立问题。

📌【题干】

Question

（2013年新课标I卷(文)） 已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}-x^2+2x,& x⩽0,\\ \ln (x+1),& x>0,\end{array}$ 若 $|f(x)|⩾ax$，则 $a$ 的取值范围是()

A. $(-\infty ,0]$　　　　B. $(-\infty ,1]$　　　　C. $[-2,1]$　　　　D. $[-2,0]$

🔍【思路分析】

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1. $x⩽0$ 时 $f(x)=-x(x-2)⩽0$，故 $|f(x)|=x^2-2x$，条件化为 $x^2-2x⩾ax$，解得 $a⩾-2$。
2. $x>0$ 时 $|f(x)|=\ln (x+1)$，条件化为 $a⩽\frac{\ln (x+1)}{x}$，而该式在 $(0,+\infty )$ 上递减趋于 $0$，故 $a⩽0$。

✅【答案】

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（D）

✍【详细解析】

Abstract

当 $x⩽0$：$f(x)=-x^2+2x=-x(x-2)⩽0$，故 $|f(x)|=x^2-2x$。条件 $|f(x)|⩾ax$ 化为 $x^2-2x⩾ax⟺x\left[x-(2+a)\right]⩾0.$ 对 $x<0$，两边除以 $x$（变号）得 $x-(2+a)⩽0$，即 $a⩾x-2$ 对一切 $x⩽0$ 成立，故 $a⩾-2$；$x=0$ 时取等号自动成立。 当 $x>0$：$|f(x)|=\ln (x+1)>0$，条件化为 $a⩽\frac{\ln (x+1)}{x}$ 对一切 $x>0$ 成立。 令 $h(x)=\frac{\ln (x+1)}{x}$，则 $h(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递减，且 $x\to 0^{+}$ 时 $h(x)\to 1$、$x\to +\infty$ 时 $h(x)\to 0$，故 $h(x)$ 的下确界为 $0$，从而 $a⩽0$。 综上 $-2⩽a⩽0$，即 $a\in [-2,0]$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数与绝对值函数

核心方法：分类讨论 + 分离参数转化为最值

避坑指南：$x>0$ 段切勿误判为 $a⩽1$：$\frac{\ln (x+1)}{x}$ 在 $(0,+\infty )$ 上递减且趋于 $0$，正确下界是 $0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：含绝对值的分段函数恒成立问题。

结论推广：$|f(x)|⩾ax$ 型恒成立，先去绝对值分区间，再分离参数转化为最值。

方法推广：恒成立三件套：分离参数 → 求另一侧的最值（或下确界）→ 注意端点能否取到。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.19 恒成立问题——转化为最值法

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷文-15 填-分段函数不等式
• 2015-新课标I卷文-10 单-分段函数