2012-北京卷理-10 填-数列

本题导读

本题考查等差数列的通项公式，以及等差数列的前n项和。

📌【题干】

Question

（2012年北京卷(理)） 已知 $\{a_n\}$ 是等差数列，$S_n$ 为其前 $n$ 项和．若 $a_1=\frac{1}{2}$，$S_2=a_3$，则 $a_2=$ $\underline{}$；$S_n=$ $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确等差数列的基本量：首项 $a_1$ 和公差 $d$。
2. 将已知关系式 $S_2=a_3$ 用基本量 $a_1$ 和 $d$ 进行代数展开。
3. 代入 $a_1=\frac{1}{2}$，解出一元一次方程求得公差 $d$。
4. 利用通项公式 $a_2=a_1+d$ 计算得出最终结果。

✅【答案】

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$1$；$\frac{n(n+1)}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：建立基本量方程

设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$。 根据等差数列的通项公式与前 $n$ 项和公式，可知：

• $S_2=a_1+a_2=a_1+\left(a_1+d\right)=2a_1+d$
• $a_3=a_1+2d$

将上述关系代入已知条件 $S_2=a_3$ 中： $2a_1+d=a_1+2d$

第二步：化简方程并求解公差 $d$

对上述方程进行移项化简： $2a_1-a_1=2d-d⟹a_1=d$

由于已知首项 $a_1=\frac{1}{2}$，直接可得公差： $d=\frac{1}{2}$

第三步：计算目标项 $a_2$

利用等差数列的通项公式求解 $a_2$ 的值： $a_2=a_1+d=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$

故答案为：$1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列通项通式 $a_n=a_1+(n-1)d$ ；前 $n$ 项和的消项化简。
2. 核心方法：基本量法（将所有高阶项全部归置为 $a_1$ 和 $d$ 的组合）。
3. 避坑指南：

• 展开 $S_2$ 时，既可以使用公式 $S_2=2a_1+\frac{2\times 1}{2}d=2a_1+d$，也可以直接根据定义写成 $a_1+a_2$。计算时需注意各项系数，避免在最基础的移项合并同类项时犯错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题为2012年北京卷高考理科数学第10题，属于数列章节的基础填空题，着重考查考生对等差数列基本概念与公式演练的熟练度。
2. 结论推广： 对于等差数列 $\{a_n\}$，若满足条件 $S_k=a_n$（其中 $k\ne n$ 且 $k>1$）。 通过基本量法展开： $\frac{k(2a_1+(k-1)d)}{2}=a_1+(n-1)d⟹k{a}_1+\frac{k(k-1)}{2}d=a_1+(n-1)d$。 化简得到首项与公差的比例关系通式： $(k-1)a_1=\left[n-1-\frac{k(k-1)}{2}\right]d$ 本题中 $k=2,n=3$，代入推广通式： $(2-1)a_1=\left[3-1-\frac{2\times 1}{2}\right]d⟹a_1=(2-1)d⟹a_1=d$。 利用此不变量比例模型，可直接跳过单步推导步骤实现心算复核。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结 类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-17 解-等差数列通项

• 2013-新课标I卷理-07 单-等差数列通项

• 2014-大纲卷理-18 解-等差数列通项