本题导读
本题考查余弦定理。
📌【题干】
Question
（2012年北京卷(理)） 在 中，若 ，，，则 ．
🔍【思路分析】
破题导航
- 明确已知量：边 ，对角余弦值 ，两边之和 。
- 选定核心公式：围绕已知角 的余弦值，选用以 为主元的余弦定理形式：。
- 代数消元化简：利用 将公式中的 强行替换，转化为关于 的一元二次方程。
- 解方程求出边长 的值。
✅【答案】
点击查看答案
✍【详细解析】
Abstract
第一步：引入余弦定理并进行代数消元
在 中，已知包含角 的余弦值。根据余弦定理，三角形三边与该角满足关系：
由已知条件 可得：
将 ， 以及 ② 式顺次代入余弦定理 ① 式中，消去未知量 ：
第二步：展开并解一元二次方程
对上述方程的各项分别进行展开与系数化简：
- 左端项：
- 右端第一项：
- 右端第二项：
- 右端第三项：
合并右端所有项：
方程两边同时消去二次项 ：
解得边长：
此时对应 ，满足三角形三边两边之和大于第三边（）的几何约束。
故答案为：。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：余弦定理 的代数变形；一元二次方程的消项化简。
- 核心方法：代入消元法。
- 避坑指南：
- 代入余弦定理时符号漏记：已知 是个负数（说明角 是钝角）。在代入 时，负负得正，该项应变为 。部分考生容易忽略负号，导致列错方程。
- 展开多项式时注意 ，切勿漏掉中间的交叉项 。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源： 本题为2012年北京卷高考理科数学第11题，属于解三角形大类中的基础填空题，旨在考查考生对余弦定理公式多变量联立的基本运算能力。
- 结论推广： 在解三角形中，若已知 、 且给定 ，求解 的代数模型可推广为如下形式： 两边消去 整理可得关于 的普适线性一次解析式： 本题中 ，代入推广通式直接心算： 利用此一阶响应不变量模型，可简化的方程展开步骤，实现零失误的高效复核。
🔗【关联脉络】
Multi column
知识锚点 (Nodes)
11.02 余弦定理 类题演练 (Links)