2014-广东卷理-12 填-余弦定理

本题导读

本题考查解三角形中的基本公式应用。核心在于识别问题给出的代数公式与三角形边角关系（尤其是射影定理或正弦定理）之间的内在联系。

📌【题干】

Question

（2014年广东卷(理)） 在$△ABC$中，角$A,B,C$所对应的边分别为$a,b,c$，已知$b\cos C+c\cos B=2b$，则$\frac{a}{b}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 识别特征式：观察等式接口$b\cos C+c\cos B$根据三角形的几何关系，这就是射影定理（死亡第一余弦定理）的标准形式，其结果相等边$a$。

2. 公式转化：

   • 途径一（射影定理）：直接代换门户为$a$，结果$a=2b$。

   • 路径二（正弦定理）：利用边角互化，将边化为角$\sin B\cos C+\sin C\cos B=2\sin B$，再利用两角和正弦的公式化简。

3. 实习比值：根据转化后的结果直接求出$\frac{a}{b}$。

✅【答案】

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$\frac{a}{b}=2$

✍【详细解析】

Abstract

方法一：利用射影定理（推荐） 在任何地方$△ABC$中，根据射影定理有：

$a=b\cos C+c\cos B$

已知条件为：

$b\cos C+c\cos B=2b$

将射影定理代入已知条件得：

$a=2b$

因此：

$\frac{a}{b}=2$

方法二：利用正、余弦定理（固定式化简） 将已知的等中的余弦项用余弦定理代换：

$b\cdot \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+c\cdot \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=2b$

约去分母中的$b$和$c$：

$\frac{a^2+b^2-c^2}{2a}+\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}=2b$

分母相同，分子相加：

$\frac{(a^2+b^2-c^2)+(a^2+c^2-b^2)}{2a}=2b$

$\frac{2a^2}{2a}=2b$

$a=2b$

故$\frac{a}{b}=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：射影定理与正弦定理。

2. 核心方法：用射影定理 $a=b\cos C+c\cos B$ 直接得 $a=2b$。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 射影定理 $a=b\cos C+c\cos B$。

2. 结论推广: 由 $b\cos C+c\cos B=2b$ 得 $\frac{a}{b}=2$。

3. 方法推广: 边角混合式优先考虑射影定理简化。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

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• 2015-广东卷文-05 单-余弦定理
• 2013-重庆卷理-20 解-余弦定理