2012-北京卷理-14 填-命题

本题导读

本题考查全称量词与存在量词，以及指数函数的图象与性质。

📌【题干】

Question

（2012年北京卷(理)） 已知 $f(x)=m(x-2m)(x+m+3)$， $g(x)=2^x-2$．若同时满足条件： ① $\forall x\in \mathbb{R}$， $f(x)<0$ 或 $g(x)<0$； ② $\exists x\in (-\infty ,-4)$， $f(x)g(x)<0$． 则 $m$ 的取值范围是 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. 解析条件 ①（全称逻辑转化）：

• 考虑 $g(x)=2^x-2$ 的符号。当 $x<1$ 时， $g(x)<0$ 恒成立，此时条件 ① 自然满足。
• 关键在于当 $g(x)⩾0$ 即 $x⩾1$ 时，为了保证“ 或 ”逻辑的完备性，必须无条件满足 $f(x)<0$。
• 问题转化为： $f(x)<0$ 在 $x⩾1$ 时恒成立。由此确定二次函数 $f(x)$ 的开口方向及两根与 $1$ 的相对位置。

2. 解析条件 ②（存在性逻辑转化）：

• 当 $x\in (-\infty ,-4)$ 时，显然 $x<1$，故指数项符号锁死为 $g(x)<0$。
• 代入不等式 $f(x)g(x)<0$，由于 $g(x)$ 为负，等价于 $\exists x\in (-\infty ,-4)$，使得 $f(x)>0$。
• 结合条件 ① 得出的开口向下特征，二次函数在两根之间大于 0。存在 $x<-4$ 使得 $f(x)>0$，等价于较小的那个根必须严格小于 $-4$。

3. 求交集闭环：

• 比较 $f(x)=0$ 的两个根 $x_1=2m$ 与 $x_2=-m-3$ 的相对大小，在条件 ① 的大前提下分情况解除条件 ② 的限制，最终求交集。

✅【答案】

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$(-4,-2)$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析条件 ①，确定 $m$ 的初步范围

分析函数 $g(x)=2^x-2$ 的零点及正负号分布：

• 当 $x<1$ 时， $2^x<2⟹g(x)<0$；
• 当 $x⩾1$ 时， $2^x⩾2⟹g(x)⩾0$。

条件 ① 要求 $\forall x\in \mathbb{R}$， $f(x)<0$ 或 $g(x)<0$ 恒成立。

• 在 $x<0$ 并在 $x<1$ 的空间内，由于 $g(x)<0$ 已经成立，该复合逻辑命题恒为真，对 $f(x)$ 无约束。

• 在 $x⩾1$ 的空间内，由于 $g(x)⩾0$，要使“ $f(x)<0$ 或 $g(x)<0$”为真，必须强制满足： $f(x)=m(x-2m)(x+m+3)<0\text{在}x⩾1\text{时恒成立}\dots \dots \text{(1)}$

由于 $x\to +\infty$ 时，若二次函数开口向上则必为正。现要求在右侧射线域内恒为负，故该二次函数必须开口向下，且方程 $f(x)=0$ 的两个实质特征根均必须位于 $1$ 的左侧。

由 $f(x)=0$ 提取出两个根： $x_1=2m,x_2=-m-3$

建立不等式组约束： $\{\begin{array}{l}m<0\\ 2m<1\\ -m-3<1\end{array}⟹\{\begin{array}{l}m<0\\ m<\frac{1}{2}\\ m>-4\end{array}⟹-4<m<0\dots \dots \text{(2)}$

第二步：分析条件 ②，判定零点区间分布

条件 ② 要求 $\exists x\in (-\infty ,-4)$，使得 $f(x)g(x)<0$ 成立。 当 $x\in (-\infty ,-4)$ 时，显然满足 $x<-4<1$，故此处恒有 $g(x)<0$。 将 $g(x)<0$ 的符号性质代入目标不等式： $f(x)g(x)<0\stackrel{g(x)<0}{⟺}f(x)>0$

也就是说，条件 ② 等价于：二次函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty ,-4)$ 内必须存在正值。

由第一步可知 $m<0$ 且二次函数开口向下。抛物线在两根之间时函数值大于 0，即当 $x\in (\min (x_1,x_2),\max (x_1,x_2))$ 时， $f(x)>0$。 要在 $(-\infty ,-4)$ 内存在这样的正值区域，只需满足较小的那个根严格小于 $-4$，即： $\min (2m,-m-3)<-4\dots \dots \text{(3)}$

第三步：两根大小分类讨论，求得 $m$ 最终域

在 ② 式大前提 $-4<m<0$ 的限制下，比较 $x_1=2m$ 与 $x_2=-m-3$ 的相对大小。 令 $2m=-m-3⟹3m=-3⟹m=-1$。

分支一：当 $-1<m<0$ 时 $2m>-m-3⟹\min (2m,-m-3)=-m-3$ 代入 ③ 式的拦截条件： $-m-3<-4⟹-m<-1⟹m>1$ 由于 $m>1$ 与前提 $-1<m<0$ 交集为空，此分支无解。

分支二：当 $m=-1$ 时 两个根重合： $x_1=x_2=2(-1)=-2$。 此时较小的根为 $-2$。由于 $-2<-4$ 不成立（$-2>-4$），抛物线无法在 $-4$ 左侧区域产生正值，此分支不合题意。

分支三：当 $-4<m<-1$ 时 $2m<-m-3⟹\min (2m,-m-3)=2m$ 代入 ③ 式的拦截条件： $2m<-4⟹m<-2$ 将此解集与当前前提求交集： $\{\begin{array}{l}m<-2\\ -4<m<-1\end{array}⟹-4<m<-2$。

综合三个分支的讨论结果，同时满足条件 ① 和 ② 的 $m$ 的取值范围为 $(-4,-2)$。

故答案为：$(-4,-2)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：全称量词转化为指定射线域内的恒成立不等式；存在量词转化为零点边界的跨度判定。
2. 核心方法：零点位置控制法；分段边界讨论法。
3. 避坑指南：

• 错误理解“或”逻辑的条件判定：部分考生误认为 $f(x)<0$ 必须在 $\mathbb{R}$ 上恒成立（即 $\Delta <0$ 且 $m<0$），忽略了当 $x<1$ 时 $g(x)<0$ 已经为真这一事实。请牢记：“ $A$ 或 $B$ ”在全域恒成立，等价于在 $B$ 不成立的补集区域内， $A$ 必须严格成立。
• 存在性问题中，开口向下的二次函数在某开区间内有正值，等价于其较小的根必须突入该区间的右边界左侧。两根大小不确定时，必须以 $m=-1$ 为分水岭严格分步讨论。

📖【试题探源与推广】

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试题探源：待补

结论推广：待补

方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

• 05.01 函数的概念 类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷理-11 单-新定义函数

• 2013-四川卷理-04 单-全称命题的否定

• 2013-山东卷理-03 单-函数奇偶性