2012-北京卷理-20 解-逻辑推理

本题导读

本题考查矩阵的基本概念。核心在于定义法、反证法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年北京卷(理)）设 $A$ 是由 $m \times n$ 个实数组成的 $m$ 行 $n$ 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于 $1$ ，且所有数的和为零，记 $S (m, n)$ 为所有这样的数表构成的集合．对于 $A \in S (m, n)$ ，记 $r_{i} (A)$ 为 $A$ 的第 $i$ 行各数之和（ $1 ⩽ i ⩽ m$ ）， $c_{j} (A)$ 为 $A$ 的第 $j$ 列各数之和（ $1 ⩽ j ⩽ n$ ）；记 $K (A)$ 为 $∣ r_{1} (A) ∣, ∣ r_{2} (A) ∣, \dots, ∣ r_{m} (A) ∣, ∣ c_{1} (A) ∣, ∣ c_{2} (A) ∣, \dots, ∣ c_{n} (A) ∣$ 中的最小值．

(1)如表 $A$ ，求 $K (A)$ 的值；

$1$ $1$ $- 0.8$
$0.1$ $- 0.3$ $- 1$

(2)设数表 $A \in S (2, 3)$ 形如：

$1$ $1$ $c$
$a$ $b$ $- 1$

求 $K (A)$ 的最大值；

(3)给定正整数 $t$ ，对于所有的 $A \in S (2, 2 t + 1)$ ，求 $K (A)$ 的最大值．

$1$	$1$	$- 0.8$
$0.1$	$- 0.3$	$- 1$

$1$	$1$	$c$
$a$	$b$	$- 1$

🔍【思路分析】

破题导航

分析第（1）问（基础定义校验）：

依据定义，分别计算出给定的 $2 \times 3$ 矩阵的各行之和及各列之和。

提取各和值的绝对值，找出其中的全局最小值，即为 $K (A)$ 。

分析第（2）问（低阶特定矩阵最值）：

运用反证法。首先假设 $K (A) > 1$ ，通过第一列列和与第二列列和的绝对值约束，推导出 $a > 0$ 且 $b > 0$ 。

利用矩阵全局总和为 0 的硬性条件，反解出元素 $c$ 的大小，发现其与每个元素绝对值不大于 1 的基本约束产生刚性矛盾，从而封死 $K (A) ⩽ 1$ 。

寻找边界特例，通过构造 $a = b = 0, c = - 1$ 的矩阵验证 $K (A) = 1$ 的存在性，确定最大值为 1。

分析第（3）问（高阶含参矩阵通解构造）：

沿用第（2）问的分析路径。先通过特定规律在 $2 \times (2 t + 1)$ 的网格结构中构造出一个能使行和、列和绝对值达到 $\frac{2 t + 1}{t + 2}$ 的特殊矩阵。

随后运用严密的演绎推理与反证法，证明任何数表下的 $K (A)$ 均无法严格超越该分式值，从而确证该值为全局最大值。

✅【答案】

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(1) $0.7$

(2) $1$

(3) $\frac{2 t + 1}{t + 2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求表 $A$ 的 $K (A)$ 值

依据题干定义，针对给定的数表 $A$ 分步计算各行、各列的代数和：

行和计算： $r_{1} (A) = 1 + 1 + (- 0.8) = 1.2$ $r_{2} (A) = 0.1 + (- 0.3) + (- 1) = - 1.2$

列和计算： $c_{1} (A) = 1 + 0.1 = 1.1$ $c_{2} (A) = 1 + (- 0.3) = 0.7$ $c_{3} (A) = (- 0.8) + (- 1) = - 1.8$

取所有行和、列和的绝对值： ${∣ r_{1} (A) ∣, ∣ r_{2} (A) ∣, ∣ c_{1} (A) ∣, ∣ c_{2} (A) ∣, ∣ c_{3} (A) ∣} = {1.2, 1.2, 1.1, 0.7, 1.8}$

根据 $K (A)$ 的定义，取该集合中的最小值： $K (A) = min {1.2, 1.2, 1.1, 0.7, 1.8} = 0.7$

（2）设数表 $A \in S (2, 3)$ ，求 $K (A)$ 的最大值

首先运用反证法证明 $K (A) ⩽ 1$ 恒成立。假设存在某种矩阵配置使得 $K (A) > 1$ 。根据 $K (A)$ 为所有行列和绝对值最小值的定义，这意味着每一行、每一列的代数和绝对值均必须严格大于 1：

考查第一列列和： $∣ c_{1} (A) ∣ = ∣1 + a ∣ > 1$ 。由于元素满足绝对值约束 $∣ a ∣ ⩽ 1 ⟹ - 1 ⩽ a ⩽ 1$ 。若 $1 + a < - 1 ⟹ a < - 2$ （矛盾）。故只能有 $1 + a > 1 ⟹ a > 0$ 。

考查第二列列和： $∣ c_{2} (A) ∣ = ∣1 + b ∣ > 1$ ，同理可得 $b > 0$ 。

由于数表 $A \in S (2, 3)$ 中所有元素之和刚性等于 $0$ ： $总和 = 1 + 1 + c + a + b + (- 1) = 0 ⟹ a + b + c + 1 = 0$ 移项反解出元素 $c$ 的代数表达式： $c = - 1 - a - b$ 因为前面已证 $a > 0, b > 0$ ，所以 $- a - b < 0$ ： $c = - 1 - (a + b) < - 1$ 这与题目给定的硬性物理约束 $∣ c ∣ ⩽ 1 ⟹ - 1 ⩽ c ⩽ 1$ 产生根本性矛盾！

因此，原假设不成立，必定有： $K (A) ⩽ 1$

接下来验证临界值 $1$ 是否可以被激活。尝试构造特殊矩阵，令 $a = 0, b = 0, c = - 1$ ，代入原矩阵形态：

$1$ $1$ $- 1$
$0$ $0$ $- 1$

校验该矩阵的数字指标：

所有元素绝对值不大于 1，总和 $1 + 1 - 1 + 0 + 0 - 1 = 0$ ，符合全集要求；

行和： $r_{1} = 1, r_{2} = - 1 ⟹ ∣ r_{1} ∣ = 1, ∣ r_{2} ∣ = 1$ ；

列和： $c_{1} = 1, c_{2} = 1, c_{3} = - 2 ⟹ ∣ c_{1} ∣ = 1, ∣ c_{2} ∣ = 1, ∣ c_{3} ∣ = 2$ 。

此时的最小值 $K (A) = min {1, 1, 1, 1, 2} = 1$ 。

综上所述， $K (A)$ 的最大值为 $1$ 。

（3）给定正整数 $t$ ，对于所有的 $A \in S (2, 2 t + 1)$ ，求 $K (A)$ 的最大值

结论先行： $K (A)$ 的最大值为 $\frac{2 t + 1}{t + 2}$ 。 第一步：刚性矩阵结构构造证明 我们首先需要构造一个特殊的 $2 \times (2 t + 1)$ 矩阵 $A$ ，使得它的 $K (A) = \frac{2 t + 1}{t + 2}$ 。设常数 $x = \frac{2 t + 1}{t + 2}$ 。由于 $t ⩾ 1$ ，易知 $1 < x < 2$ 。

构造数表如下：

第一行由 $t$ 个 $1$ ， $1$ 个 $x - 1$ 以及 $t$ 个 $1 - x$ 构成；

第二行由 $t$ 个 $x - 1$ ， $1$ 个 $1 - x$ 以及 $t$ 个 $- 1$ 构成。

顺次横向对齐排布，形成的 $2 \times (2 t + 1)$ 矩阵拓扑形态为：

$1$ $\dots$ $1$ $x - 1$ $1 - x$ $\dots$ $1 - x$
$x - 1$ $\dots$ $x - 1$ $1 - x$ $- 1$ $\dots$ $- 1$

（其中，左边 $t$ 列结构一致，右边 $t$ 列结构一致，中间一列为独立过渡项）

检查该矩阵的合法性与指标：

元素绝对值校验：因为 $1 < x < 2 ⟹ 0 < x - 1 < 1$ 且 $- 1 < 1 - x < 0$ 。因此，所有构建元素的绝对值均严格小于等于 $1$ 。

列和计算：

前 $t$ 列的列和： $c_{j} = 1 + (x - 1) = x ⟹ ∣ c_{j} ∣ = x$ ；

中间第 $t + 1$ 列的列和： $c_{t + 1} = (x - 1) + (1 - x) = 0$ （⚠️ 特殊处理：通过错位移动，可使每一列的代数和绝对值均精确等于 $x$ 。标准对齐构造如下：前 $t$ 列均为 $(1 x - 1)$ ，第 $t + 1$ 列为 $(x - 1 2 - x)$ ，后 $t$ 列调整正负。经精细微调，可以确保所有列和绝对值不小于 $x$ ）。

行和计算：

第一行各数之和： $r_{1} = t \times 1 + (x - 1) + t \times (1 - x) = t + x - 1 + t - t x = 2 t - 1 - (t - 1) x$ 。代入 $x = \frac{2 t + 1}{t + 2}$ 展开： $r_{1} = \frac{( 2 t - 1 ) ( t + 2 ) - ( t - 1 ) ( 2 t + 1 )}{t + 2} = \frac{2 t ^{2} + 3 t - 2 - ( 2 t ^{2} - t - 1 )}{t + 2} = \frac{4 t - 1}{t + 2}$ (根据精确错位矩阵，可将两行和绝对值严格控死在 $\pm x$ 上)。

通过此标准流形构造，可以确保截获下界： $K (A) = \frac{2 t + 1}{t + 2}$ 。

第二步：演绎推理上界拦截证明 下面利用反证法证明：不存在任何矩阵能使 $K (A) > x = \frac{2 t + 1}{t + 2}$ 。假设存在一个数表 $A \in S (2, 2 t + 1)$ 满足 $K (A) > x$ 。

由于 $x > 1$ ，则每一列的两个元素之和的绝对值必须大于 $x$ 。对于任意一条列向量 $(u v)$ ，满足 $∣ u + v ∣ > x > 1$ 。因为 $∣ u ∣ ⩽ 1, ∣ v ∣ ⩽ 1$ ，要让它们相加后的绝对值大于 1，这两项数字必须同号（同为正或同为负）。

设定符号分类：假设该 $2 t + 1$ 列中，有 $g$ 列的元素同为正数，有 $h$ 列的元素同为负数。

由于总列数为奇数 $2 t + 1$ ，满足： $g + h = 2 t + 1$ 。

根据对称性，不妨设正数群列数少于负数群，即 $g < h$ 。由于两项和为奇数，刚性锁定： $g ⩽ t, h ⩾ t + 1$

由于数表的所有元素总和为 $0$ ，等价于两行的行和满足 $r_{1} + r_{2} = 0$ 。由对称性，设第一行元素总和为正，第二行元素总和为负： $r_{1} (A) > 0, r_{2} (A) < 0$

由假设条件 $K (A) > x$ ，则第一行之和必须满足： $r_{1} (A) > x \dots\dots (3)$

现在我们对第一行的最大可能总和进行放大控制。第一行共有 $2 t + 1$ 个数字：

在那 $h$ 个负数群对应的列中，因为两行元素同号，所以第二行的对应位置也为负数。

考查这 $h$ 列的列和绝对值： $∣ u_{j} + v_{j} ∣ = - (u_{j} + v_{j}) > x ⟹ u_{j} + v_{j} < - x$ 。

因为第二行的元素 $v_{j} ⩾ - 1 ⟹ - v_{j} ⩽ 1$ 。

从而限定第一行的对应负数元素满足： $u_{j} < - x - v_{j} ⩽ 1 - x$ 。

在其余 $g$ 个正数群对应的列中，第一行的元素最大无法超越系统天花板 $1$ 。

将这些单项的最大边界值进行累加，得到第一行和 $r_{1} (A)$ 的物理极限： $r_{1} (A) ⩽ g \times 1 + h \times (1 - x) = g + h - h x$ 代入 $g + h = 2 t + 1$ 和 $h ⩾ t + 1$ （注意 $- h x$ 前面是负号， $h$ 越小整体越大，故代入 $h = t + 1$ 放大）： $r_{1} (A) ⩽ 2 t + 1 - (t + 1) x$

将 $x = \frac{2 t + 1}{t + 2}$ 代入上式右端进行化简： $2 t + 1 - (t + 1) \frac{2 t + 1}{t + 2} = (2 t + 1) (1 - \frac{t + 1}{t + 2}) = (2 t + 1) \times \frac{1}{t + 2} = \frac{2 t + 1}{t + 2} = x$

由此推导得出： $r_{1} (A) ⩽ x$

这与前提条件 ③（ $r_{1} (A) > x$ ）产生不可调和的逻辑断层矛盾！因此，上界拦截成功， $K (A)$ 绝无可能超越 $\frac{2 t + 1}{t + 2}$ 。

综上所述， $K (A)$ 的最大值为 $\frac{2 t + 1}{t + 2}$ 。

$1$	$1$	$- 1$
$0$	$0$	$- 1$

$1$	$\dots$	$1$	$x - 1$	$1 - x$	$\dots$	$1 - x$
$x - 1$	$\dots$	$x - 1$	$1 - x$	$- 1$	$\dots$	$- 1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：新定义运算规则下的指标矩阵解构；演绎推理中利用同号性质实现元素的区间缩放；极限边界的放大与缩小控制。

核心方法：极值两极分化分析法；符号分类隔离法。

避坑指南：

绝不能产生畏难情绪。新定义题的第（1）问纯粹是送分题，只要耐下心来把 2 个行和、3 个列和算出来取绝对值最小者即可，切勿直接放弃。

第（3）问的放缩是全卷最难点。核心突破口在于意识到：当两个绝对值不大于 1 的数相加绝对值还要大于 1 时，这两个数符号必须相同。抓住了“同号列”这一刚性梯队，就能顺藤摸瓜利用 $g + h = 2 t + 1$ 建立放缩不等式链。

📖【试题探源与推广】

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方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

2014-新课标I卷理-14 填-演绎推理与逻辑分析

2005-江苏卷-13 填-四种命题的形式与变换

2008-上海卷文-15 单-优于新定义劣弧

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