2012-四川卷文-04 单-指数函数图象识别

本题导读

本题考查指数型函数的图象与性质。

📌【题干】

Question

（2012年四川卷(文)） 函数 $y=a^x-a$（$a>0$，且 $a\ne 1$）的图象可能是()

!

🔍【思路分析】

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$y=a^x-a$ 恒过 $(1,0)$；$0<a<1$ 时递减且 $y(0)=1-a>0$。逐项检验图象是否恰好过 $(1,0)$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

函数 $y=a^x-a$ 恒过点 $(1,0)$（因 $a^1-a=0$）。

当 $0<a<1$ 时：$a^x$ 递减，$y(0)=1-a>0$，$x\to +\infty$ 时 $y\to -a<0$，图象从 $y$ 轴正半轴出发递减，恰在 $x=1$ 处穿过 $x$ 轴。

当 $a>1$ 时：$a^x$ 递增，$y(0)=1-a<0$，图象从 $y$ 轴负半轴出发递增，也在 $x=1$ 处穿过 $x$ 轴。

（A）在 $x=1$ 处图象位于 $x$ 轴上方，不符；（B）递增但穿过 $x$ 轴的位置在 $x=1$ 左侧，不符；（D）递减但穿过点不在 $x=1$，不符。

只有（C）递减且恰好过 $(1,0)$，故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数函数图象的平移；定点 $(1,0)$；单调性与截距符号

核心方法：先由解析式提取”必过 $(1,0)$“与”$y(0)$ 的符号”两条硬信息，再逐项排除

避坑指南：所有 $y=a^x-a$ 都过 $(1,0)$，所以”是否恰好过 $x$ 轴上的 $1$ 刻度”是唯一判据；只看增减不看交点位置，会在（B）（C）之间犹豫。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：指数型函数图象识别题，与 2014 年辽宁卷理第 3 题、2014 年山东卷理第 5 题同族。

结论推广：$y=a^x+k$ 型图象恒过 $(0,1+k)$；$y=a^x-a$ 型恒过 $(1,0)$。“底数与平移量相同”这类结构必有可提的定点。

方法推广：图象选择题先列硬信息（定点、单调性、渐近方向、截距符号），再用硬信息逐项排除。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷理-03 单-指数函数图象
• 2014-山东卷理-05 单-指数函数图象
• 2012-湖北卷文-06 单-函数图象变换