2010-湖南卷文-08 单-函数图象识别

本题导读

考查图象识别。D 中抛物线开口向上、对称轴在 $(-\frac{1}{2},0)$，得 $a>0,0<b<2a$；对数曲线递减需 $0<|b/a|<1$，两相容；其余选项均矛盾，选 D。

📌【题干】

Question

（2010年湖南卷(文)） 函数 $y=a{x}^2+bx$ 与 $y={\log }_{|\frac{b}{a}|}x$（$ab\ne 0$，$|a|\ne |b|$）在同一直角坐标系中的图象可能是()

🔍【思路分析】

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1. 抛物线 $y=a{x}^2+bx$ 恒过原点，开口方向由 $a$ 定，对称轴 $x=-\frac{b}{2a}$。
2. 对数函数单调性由底 $\left|\frac{b}{a}\right|$ 与 1 的大小定，两个函数的参数是同一组 $(a,b)$，必须同时满足。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $y=a{x}^2+bx$ 恒过原点，对称轴 $x=-\frac{b}{2a}$；对数函数 $y={\log }_{|\frac{b}{a}|}x$ 过点 $(1,0)$. 考察 D 选项：对数曲线递减，故 $0<\left|\frac{b}{a}\right|<1$，即 $|b|<|a|$； 抛物线开口向上，$a>0$；对称轴 $-\frac{b}{2a}$ 在 $y$ 轴左侧且在 $-1$ 右侧，即 $0<b<2a$，与 $a>0$ 一致得 $0<\frac{b}{a}<1$，恰好满足 $0<\left|\frac{b}{a}\right|<1$，两个图象相容. 考察 A 选项：对数曲线递增，需 $\left|\frac{b}{a}\right|>1$，即 $b>2a$（$a>0$），此时对称轴 $-\frac{b}{2a}<-1$，与图中对称轴在 $(-1,0)$ 内矛盾. B、C 选项同样可验证抛物线对称轴位置与对数底的范围互相矛盾. 故选 D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二次函数与对数函数图象识别

核心方法：由抛物线开口与对称轴位置定 $a,b$ 的符号与范围，再核对对数底 $\left|\frac{b}{a}\right|$ 与 1 的大小

避坑指南：两函数共用参数 $(a,b)$，必须同时满足；“递增对数”需底大于 1、“递减”需底小于 1，与对称轴 $-\frac{b}{2a}$ 的范围互相约束。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：同坐标系双函数图象题，核心是”一套参数、双重约束”。

结论推广：$y=a{x}^2+bx$ 恒过原点；$y={\log }_{u}x$ 恒过 $(1,0)$；底 $u$ 与 1 的大小决定增减。

方法推广：逐项检验：先读抛物线得 $a,b$ 范围，再验证对数图象是否相容，矛盾即排除。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-06 单-函数图象识别
• 2009-江西卷文-11 单-函数图象识别
• 2011-山东卷文-10 单-函数图象识别
• 2012-四川卷文-04 单-指数函数图象识别