2012-四川卷文-12 单-函数对称与数列求和

本题导读

本题考查函数的对称性，以及等差数列的性质与求和。

📌【题干】

Question

（2012年四川卷(文)） 设函数 $f(x)=(x-3{)}^3+x-1$，$\{a_n\}$ 是公差不为 $0$ 的等差数列，$f(a_1)+f(a_2)+\cdots +f(a_7)=14$，则 $a_1+a_2+\cdots +a_7=$()

A. $0$　　　　　　　B. $7$　　　　　　　C. $14$　　　　　　　D. $21$

🔍【思路分析】

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$f(x)=(x-3{)}^3+x-1$ 关于点 $(3,2)$ 对称；设 $a_4=3+t$，则七项和中奇次幂项相消，只剩 $7t^3+84t{d}^2+7t+14=14$，故 $t=0$，$a_4=3$，和为 $21$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

令 $g(x)=(x-3{)}^3$，则 $g(3+t)+g(3-t)=t^3+(-t{)}^3=0$，故 $f(3+t)+f(3-t)=(3+t)+(3-t)-2=4$，即 $f$ 的图象关于点 $(3,2)$ 对称。

设公差为 $d\ne 0$，$a_4=3+t$，则 $a_{4+k}=3+t+kd$（$k=-3,\cdots ,3$）。

$\sum _{k=-3}^{3}f(a_{4+k})=\sum _{k=-3}^3[(td+kd{)}^3]+\sum _{k=-3}^3(3+t+kd)-7$。

其中 ${\sum }_{k=-3}^3(t+kd{)}^3=7t^3+3t{d}^2\sum k^2=7t^3+84t{d}^2$（奇次幂项相消），${\sum }_{k=-3}^3(3+t+kd)=21+7t$。

所以总和 $=7t^3+84t{d}^2+21+7t-7=7t(t^2+12d^2+1)+14=14$。

由 $t^2+12d^2+1>0$ 得 $t=0$，即 $a_4=3$。

所以 $a_1+a_2+\cdots +a_7=7a_4=21$。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数图象的点对称（中心对称）；等差数列对称项性质 $a_{4-k}+a_{4+k}=2a_4$

核心方法：以中间项 $a_4$ 为参数展开，奇次幂（关于 $3$ 对称）自动相消

避坑指南：本题的”陷阱解法”是误以为 $f(a_k)$ 也成等差数列从而套 $\sum f(a_n)=7f(a_4)$——$f$ 不是一次函数，这不成立；必须用对称性逐项展开。另一个易错点是 ${\sum }_{k=-3}^3{k}^2=2(1+4+9)=28$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数对称性与数列综合题，与 2013 年新课标Ⅰ理第 16 题、2013 年江西卷理第 21 题的”对称性”背景同族。

结论推广：$f(x)=(x-a{)}^3+x-a+m$ 型函数关于点 $\left(a,\frac{m+a}{1}\right)$ 对称；等差数列奇数项和 $=项数\times 中项$。

方法推广：遇到”$f$ 与等差数列”的组合，先检验 $f$ 是否具有对称性（尤其 $(x-a{)}^3+x-a$ 型），对称性能把求和化成单项。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷理-16 填-函数对称性
• 2013-浙江卷文-07 单-二次函数对称
• 2012-福建卷文-08 单-正弦函数对称轴