2013-浙江卷文-07 单-二次函数对称

本题导读

本题考查二次函数的图象与性质。

📌【题干】

Question

（2013年浙江卷(文)） 已知 $a$，$b$，$c\in \mathbf{R}$，函数 $f(x)=a{x}^2+bx+c$.若 $f(0)=f(4)>f(1)$，则()

A. $a>0$，$4a+b=0$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $a<0$，$4a+b=0$

C. $a>0$，$2a+b=0$　　　　　　　　　　　　　　　　D. $a<0$，$2a+b=0$

🔍【思路分析】

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1. $f(0)=c$，$f(4)=16a+4b+c$，相等 → $16a+4b=0$ → $4a+b=0$。
2. 对称轴 $x=-\frac{b}{2a}=2$；$1$ 在轴左侧，$f(0)>f(1)$ 且 $0$ 离轴更远 → 离轴越远值越大 → $a>0$。

✅【答案】

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（A）

✍【详细解析】

Abstract

由 $f(0)=f(4)$： $c=16a+4b+c⟹16a+4b=0⟹4a+b=0,$ 即对称轴 $x=-\frac{b}{2a}=2$。 又 $f(0)>f(1)$：点 $0$ 与 $1$ 都在对称轴 $x=2$ 的左侧，$0$ 离轴更远而函数值更大，说明函数离对称轴越远值越大，故开口向上，$a>0$。 （亦可代数验证：$f(0)>f(1)$ 即 $c>a+b+c$，$a+b<0$；由 $b=-4a$ 得 $-3a<0$，$a>0$。） 选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二次函数的对称轴与开口方向

核心方法：$f(0)=f(4)$ → 对称轴 $x=2$ → $-\frac{b}{2a}=2$ → $4a+b=0$；$f(0)>f(1)$ → 顶点两侧降 → 开口向上 $a>0$

避坑指南：$f(0)=f(4)$ 给出的是对称轴 $x=2$（不是 $x=0$ 或 $4$）；判断开口方向别硬解不等式：$f(0)>f(1)$ 且 $1$ 在对称轴 $x=2$ 左侧、$f(0)$ 在更远处更大，说明”离轴越远值越大” → 开口向上。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二次函数图象与性质（对称轴 + 开口方向的信息组合）。

结论推广：$f(x_1)=f(x_2)(x_1\ne x_2)$ ⟺ 对称轴 $x=\frac{x_1+x_2}{2}$；开口向上时离对称轴越远函数值越大。

方法推广：二次函数信息题两步：由两函数值相等读出对称轴 → 由第三点与对称轴的远近关系读出开口方向。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2014-北京卷文-08 单-二次函数模型