2012-四川卷理-08 单-抛物线

本题导读

本题考查抛物线的定义与性质，以及焦点、准线、距离公式的综合。

📌【题干】

Question

（2012年四川卷(理)） 已知抛物线关于 $x$ 轴对称，它的顶点在坐标原点 $O$，并且经过点 $M(2,y_0)$.若点 $M$ 到该抛物线焦点的距离为 $3$，则 $|OM|=$()

A. $2\sqrt{2}$ B. $2\sqrt{3}$ C. $4$ D. $2\sqrt{5}$

🔍【思路分析】

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1. 由抛物线关于 $x$ 轴对称、顶点在原点，设 $y^2=2px$（$p>0$）。
2. 由点 $M(2,y_0)$ 到焦点距离 $3$，用抛物线定义（到焦点距离=到准线距离）。
3. 求出 $p$，再求 $|OM|$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设抛物线 $y^2=2px$（$p>0$），焦点 $F(\frac{p}{2},0)$，准线 $x=-\frac{p}{2}$。 点 $M(2,y_0)$ 到焦点距离等于到准线距离： $3=2+\frac{p}{2}\Rightarrow \frac{p}{2}=1\Rightarrow p=2$ 于是 $y_0^2=2px=2\times 2\times 2=8$，$y_0=\pm 2\sqrt{2}$。 $|OM|=\sqrt{2^2+y_0^2}=\sqrt{4+8}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线的定义与标准方程

核心方法：焦点与准线

避坑指南：两点距离公式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于抛物线的定义

结论推广：可推广到椭圆、双曲线的定义应用

方法推广：用定义（到焦点=到准线）是关键

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2007-辽宁卷理-20 解-向量数量积几何投影性质
• 2008-广东卷文-20 解-椭圆抛物线切线与存在性
• 2012-上海卷文-21 解-抛物线应用建模最值