2008-福建卷理-19 解-等差数列

本题导读

本题是一道函数导数与数列交汇的综合大题。第一问利用点在函数图象上的代数特征建立数列的递推关系，通过因式分解判定等差数列并求和证明；第二问考查导数在单调性与极值中的应用，关键在于针对动区间与固定极值点的位置关系进行严谨的分类讨论。

📌【题干】

Question

（2008年福建卷(理)） 已知函数 $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3+x^2-2$.

(1) 设 $\{a_n\}$ 是正数组成的数列，前 $n$ 项和为 $S_n$，其中 $a_1=3$.若点 $(a_n,a_{n+1}^2-2a_{n+1})(n\in {\mathbf{N}}^{\ast })$ 在函数 $y=f^{\prime }(x)$ 的图象上，求证：点 $(n,S_n)$ 也在 $y=f^{\prime }(x)$ 的图象上；

(2) 求函数 $f(x)$ 在区间 (a - 1, a) 内的极值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：先求导数 $f^{\prime }(x)=x^2+2x$。将已知点代入导函数解析式，通过代数变形与因式分解求出 $\{a_n\}$ 的公比或公差，进而求出 $S_n$ 并验证点 $(n,S_n)$。
2. 第二问：求出 $f(x)$ 的极值点 $x=-2$ 和 $x=0$。由于区间 $(a-1,a)$ 的长度为 1，两个极值点不可能同时落在该区间内，故需根据 $-2$ 或 $0$ 是否在区间内，对参数 $a$ 进行分类讨论。

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• 当 $-2<a<-1$ 时，$f(x)$ 在区间 $(a-1,a)$ 内有极大值 $-\frac{2}{3}$，无极小值；- 当 $0<a<1$ 时，$f(x)$ 在区间 $(a-1,a)$ 内有极小值 $-2$，无极大值；- 当 $a\le -2$ 或 $-1 \l

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1) 证明：对 $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3+x^2-2$ 求导得：$f^{\prime }(x)=x^2+2x$。 因为点 $(a_n,a_{n+1}^2-2a_{n+1})$ 在函数 $y=f^{\prime }(x)$ 的图象上， 所以 $a_{n+1}^2-2a_{n+1}=a_n^2+2a_n$， 移项变形得：$(a_{n+1}^2-a_n^2)-2(a_{n+1}+a_n)=0$， 即 $(a_{n+1}+a_n)(a_{n+1}-a_n-2)=0$。 因为 $\{a_n\}$ 是由正数组成的数列，所以 $a_{n+1}+a_n>0$。 从而 $a_{n+1}-a_n-2=0$，即 $a_{n+1}-a_n=2$。 故 $\{a_n\}$ 是以 $a_1=3$ 为首项，$d=2$ 为公差的等差数列。 其前 $n$ 项和为： $S_n=n\cdot a_1+\frac{n(n-1)}{2}\cdot d=3n+\frac{n(n-1)}{2}\times 2=n^2+2n$ 当 $x=n$ 时，$f^{\prime }(n)=n^2+2n=S_n$。 所以点 $(n,S_n)$ 也在 $y=f^{\prime }(x)$ 的图象上。

(2) 令 $f^{\prime }(x)=x^2+2x=0$，解得 $x_1=-2,x_2=0$。 当 $x\in (-\infty ,-2)$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增； 当 $x\in (-2,0)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减； 当 $x\in (0,+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增。 故 $x=-2$ 为 $f(x)$ 的极大值点，极大值为 $f(-2)=-\frac{2}{3}$； $x=0$ 为 $f(x)$ 的极小值点，极小值为 $f(0)=-2$。 由于已知区间 $(a-1,a)$ 的长度为 1，下面对极值点是否落在区间内进行讨论：

① 当 $-2\in (a-1,a)$ 时，即 $a-1<-2<a⟹-2<a<-1$。 此时 $x=-2$ 在该区间内，且 $0$ 不在区间内。 故 $f(x)$ 在区间 $(a-1,a)$ 内有极大值 $-\frac{2}{3}$，无极小值。

② 当 $0\in (a-1,a)$ 时，即 $a-1<0<a⟹0<a<1$。 此时 $x=0$ 在该区间内，且 $-2$ 不在区间内。 故 $f(x)$ 在区间 $(a-1,a)$ 内有极小值 $-2$，无极大值。

③ 当区间 $(a-1,a)$ 不包含 $-2$ 也不包含 $0$ 时，即 $a\le -2$ 或 $-1\le a\le 0$ 或 $a\ge 1$ 时。 此时区间内无极值点。 故 $f(x)$ 在区间 $(a-1,a)$ 内无极值。

综上所述：

• 当 $-2<a<-1$ 时，$f(x)$ 在区间 $(a-1,a)$ 内有极大值 $-\frac{2}{3}$，无极小值；
• 当 $0<a<1$ 时，$f(x)$ 在区间 $(a-1,a)$ 内有极小值 $-2$，无极大值；
• 当 $a\le -2$ 或 $-1\le a\le 0$ 或 $a\ge 1$ 时，$f(x)$ 在区间 $(a-1,a)$ 内无极值。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列的特征递推式判定；利用导数符号判断函数单调性与极值。
2. 核心方法：因式分解消去非零项；区间动点分布的分类讨论。
3. 避坑指南：

• 第一问中切忌看到平方项就直接盲目开方，通过移项平方差公式进行因式分解是最稳妥的化简手段。
• 第二问极易忽略临界状态（如 $-1\le a\le 0$ 时区间夹在两个极值点中间的情况），分类讨论必须做到不重不漏，区间端点处的等号需严格对应。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是新课标高考初期将多项式导数与经典数列递推融合的代表作，属于典型的工具性交汇题。
2. 结论推广: 若已知动区间 $(a-\Delta ,a)$ 的长度 $\Delta$ 小于函数两极值点之间的距离 $|x_1-x_2|$，则该区间内至多只能包含其中一个极值点，其分类的标准边界即为极值点与区间端点重合的临界位置。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2010-浙江卷文-21 解-三次函数与等差数列
• 2012-四川卷理-12 单-等差数列与函数
• 2009-上海卷文-13 填-奇函数与等差中项