2012-大纲卷文-08 单-点面距向量法

本题导读

本题考查点到平面的距离，以及空间向量法。

📌【题干】

Question

（2012年大纲卷(文)） 已知正四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$AB=2$，$C{C}_1=2\sqrt{2}$，$E$ 为 $C{C}_1$ 的中点，则直线 $A{C}_1$ 到平面 $BED$ 的距离为()

A. $2$　　　　　　　B. $\sqrt{3}$　　　　　　　C. $\sqrt{2}$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

破题导航

建系后平面 $BED$ 的法向量 $\vec{n}=(-\sqrt{2},-\sqrt{2},2)$，$\vec{n}\cdot \overrightarrow{A{C}_1}=0$ 说明线面平行，点 $A$ 到平面的距离为 $1$，选 D。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

以 $A$ 为原点、$AB$、$AD$、$A{A}_1$ 为 $x,y,z$ 轴建系：$A(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$D(0,2,0)$，$C_1(2,2,2\sqrt{2})$，$E(2,2,\sqrt{2})$。

$\overrightarrow{BE}=(0,2,\sqrt{2})$，$\overrightarrow{BD}=(-2,2,0)$。设平面 $BED$ 的法向量 $\vec{n}=(x,y,z)$，则 $2y+\sqrt{2}z=0$ 且 $-2x+2y=0$，取 $\vec{n}=(-\sqrt{2},-\sqrt{2},2)$。

$\overrightarrow{A{C}_1}=(2,2,2\sqrt{2})$，$\vec{n}\cdot \overrightarrow{A{C}_1}=-2\sqrt{2}-2\sqrt{2}+4\sqrt{2}=0$，故 $A{C}_1\parallel$ 平面 $BED$，线面距即点 $A$ 到平面的距离。

$d=\frac{|-\sqrt{2}(0-2)-\sqrt{2}\times 0+2\times 0|}{\sqrt{2+2+4}}=\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=1$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：点到平面的距离；空间向量法；线面平行的判定

核心方法：建系 → 求法向量 → 验证线面平行 → 点面距公式

避坑指南：求线面距必须先验证直线与平面平行（本题 $\vec{n}\cdot \overrightarrow{A{C}_1}=0$），否则无从谈起；$E$ 是 $C{C}_1$ 的中点，$z$ 坐标是 $\sqrt{2}$ 不是 $2\sqrt{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：柱体中的点面距问题，与 2013 年江西卷文第 19 题（直四棱柱垂直距离）、2014 年新课标Ⅰ文第 19 题同属”向量法求距离”家族。

结论推广：一般地，正四棱柱中涉及中点、体对角线的距离问题，建系后先用 $\vec{n}$ 与方向向量点积判断线面关系，再用 $d=\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{MP}|}{|\vec{n}|}$（$M$ 为平面内一点）。

方法推广：点面距三步：法向量 → 取平面内一点与目标点连向量 → 套投影公式；线面距先证平行再化点面距。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-江西卷文-19 解-直四棱柱垂直距离

• 2014-新课标I卷文-19 解-线面垂直与棱柱高