2012-大纲卷理-01 单-复数

本题导读

本题考查复数的四则运算。

📌【题干】

Question

（2012年大纲卷(理)） 复数 $\frac{-1+3i}{1+i}=$()

A. $2+i$　　　　B. $2-i$　　　　C. $1+2i$　　　　D. $1-2i$

🔍【思路分析】

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1. 观察已知复数分式，分母为 $1+i$。
2. 根据复数除法法则，分子和分母需要同时乘以分母的共轭复数 $1-i$，以实现分母实数化。
3. 分子按多项式乘法展开，分母利用平方差公式化简，合并同类项后得到标准代数形式 $a+bi$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

复数除法化简

分子、分母同乘以 $1-i$： $\frac{-1+3i}{1+i}=\frac{(-1+3i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}$

分别展开分子与分母：

• 分子部分： $(-1+3i)(1-i)=-1\times 1-1\times (-i)+3i\times 1+3i\times (-i)$ $=-1+i+3i-3i^2$ 将 $i^2=-1$ 代入： $=-1+4i-3(-1)=-1+4i+3=2+4i$

• 分母部分： $(1+i)(1-i)=1^2-i^2=1-(-1)=2$

将分子、分母简化后的结果代回原式： $\frac{-1+3i}{1+i}=\frac{2+4i}{2}=\frac{2}{2}+\frac{4i}{2}=1+2i$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数代数形式的乘除法混合运算；分母实数化不变量控制。
2. 核心方法：共轭因式平移法。
3. 避坑指南：

• 展开分子多项式时，注意符号的叠加。例如 $3i\times (-i)=-3i^2=-3\times (-1)=+3$，此处极易因符号看错导致实部计算失误。
• 分母利用共轭复数性质可直接代入公式 $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$，本题中即 $1^2+1^2=2$，无需展开以提高运算速度。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题为2012年重庆卷高考理科数学第1题（原图标记为第1题，前述同卷另一题可能为题库乱序或不同年份重组，本处严格按图片文本题号录入），属于全卷开篇的无障碍基础送分题。
2. 结论推广： 已知复数除法通用公式为： $\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$ 本题中 $a=-1,b=3,c=1,d=1$，直接代入不变量结构： $\text{实部}=\frac{-1\times 1+3\times 1}{1^2+1^2}=\frac{2}{2}=1$ $\text{虚部}=\frac{3\times 1-(-1)\times 1}{1^2+1^2}=\frac{4}{2}=2$ 合并即得 $1+2i$，可在考场上实现直接心算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数 类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-01 单-复数除法

• 1988-全国卷理-01 单-复数的乘方

• 2001-上海卷理-02 填-复数的四则运算