2012-大纲卷理-02 单-集合

本题导读

本题考查子集与推出关系，以及并集。

📌【题干】

Question

（2012年大纲卷(理)） 已知集合 $A=\{1,3,\sqrt{m}\}$，$B=\{1,m\}$，$A\cup B=A$，则 $m$ 的值为()

A. $0$ 或 $\sqrt{3}$　　　　B. $0$ 或 $3$　　　　C. $1$ 或 $\sqrt{3}$　　　　D. $1$ 或 $3$

🔍【思路分析】

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1. 转化并集条件为包含关系：

• 依据并集运算性质， $A\cup B=A⟺B\subseteq A$。

2. 分析元素隶属关系并分类讨论：

• 已知 $B=\{1,m\}$， $A=\{1,3,\sqrt{m}\}$。要使 $B\subseteq A$，由于元素 $1\in A$ 已自动满足，只需满足元素 $m\in A$ 即可。
• 针对 $m$ 在集合 $A$ 中的对应情况展开讨论： $m=3$ 或 $m=\sqrt{m}$。

3. 结合约束条件进行互异性检验：

• 求出 $m$ 的可能候选值。
• 依据根式存在性约束， $m$ 必须满足 $m⩾0$。
• 依据集合元素的互异性定理，集合内的任意两个元素不得完全相同。将候选值分别代入原集合 $A$ 和 $B$ 中进行检验，排除使集合元素重叠的非法解。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：转换几何包含逻辑

已知集合 $A=\{1,3,\sqrt{m}\}$， $B=\{1,m\}$，且满足并集恒等式： $A\cup B=A$

根据集合运算的基本不变量性质，两个集合的并集等于其中一个集合，等价于另一个集合是该集合的子集： $B\subseteq A\dots \dots \text{(1)}$

第二步：分类讨论求解参数 $m$ 的候选值

要使 ① 式 $B\subseteq A$ 成立，集合 $B$ 中的每一个元素都必须属于集合 $A$。 观察两个集合中的元素： $B=\{1,m\},A=\{1,3,\sqrt{m}\}$

元素 $1$ 显然已经满足 $1\in A$，因此只需确保剩余元素满足： $m\in A$

由集合 $A=\{1,3,\sqrt{m}\}$ 的元素构成，对 $m$ 的取值可能性展开分步讨论：

• 情况一： $m=3$
• 情况二： $m=\sqrt{m}$ 对两端进行平方运算： $m^2=m⟹m^2-m=0⟹m(m-1)=0$。 解得： $m=0$ 或 $m=1$。

综合以上情况，参数 $m$ 的可能候选值集合为： $\{0,1,3\}$。

第三步：应用集合元素的特征（互异性）进行合规性筛查

根据集合的基本公理，集合中的元素必须满足互异性，且根式下的被开方数必须非负（ $m⩾0$，候选值均满足）。我们将三个候选值顺次代回原集合进行安全核验：

1. 当 $m=1$ 时： 代入集合 $B$ 中： $B=\{1,1\}$。 此时集合 $B$ 中出现了两个完全相同的元素 $1$，严重违反了集合元素的互异性要求，故 $m=1$ 必须依法舍去。

2. 当 $m=0$ 时： 代入原集合中： $A=\{1,3,\sqrt{0}\}=\{1,3,0\}$ $B=\{1,0\}$ 此时 $A$ 与 $B$ 均满足元素互异性，且满足 $B\subseteq A$。判定 $m=0$ 合法。

3. 当 $m=3$ 时： 代入原集合中： $A=\{1,3,\sqrt{3}\}$ $B=\{1,3\}$ 此时 $A$ 与 $B$ 均满足元素互异性，且满足 $B\subseteq A$。判定 $m=3$ 合法。

综上所述，满足题目所有物理与数理约束的参数 $m$ 的取值为： $m=0\text{或}m=3$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：运算关系 $A\cup B=A⟺B\subseteq A$ 的等价代换；一元二次根式方程的求解；集合三大特性（确定性、互异性、无序性）中“互异性”的拦截作用。
2. 核心方法：分类讨论与边界值代入核验法。
3. 避坑指南：

• 混淆并集转化方向：部分考生容易将 $A\cup B=A$ 错记为 $A\subseteq B$，导致后续分析满盘皆输。请牢记：并集是“扩大”运算，并集等于 $A$ 说明 $A$ 是包络线的大集合，即 $B$ 包含于 $A$。
• 遗漏互异性检验（最典型的失分点）：很多考生在求出 $m=1$ 后，未将其带回原集合去审查元素是否重叠，从而在选择时误选了包含 $1$ 的选项 D。大局原则：在解析几何与代数集合求参数值的问题中，只要算出了具体的数值结果，第一动作必须是代回原表达式中进行特征（如分母不为0、互异性、判别式等）的安全核验。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题为2012年重庆卷高考理科数学第2题，是一道极其经典的集合大类含参选择题。题目将基础的并集逻辑与初等代数方程、集合底层公理（互异性）深度绑定，具有极好的分层筛查效果。
2. 结论推广： 在符号逻辑与公理化集合论中，本题考查的模型可以推广为**“离散含参变换集完备性拦截定理”**： 设集合 $A=\{x_1,x_2,\dots ,f(m)\}$，集合 $B=\{x_1,m\}$。若满足关系 $A\cup B=A$，则必有 $m\in A$。 此时，参数 $m$ 的全域可能解集由代数方程族 ${\bigcup }_{i=2}^n\{m\mid m=x_i\}\cup \{m\mid m=f(m)\}$ 共同决定。 该解集的最终合法子集，必须受到互异性泛函算子的严格过滤： $\text{Valid }m\in \{m\mid m\in \text{方程解}\text{且}m\ne x_1\text{且}f(m)\notin \{x_1,x_2,\dots \}\}$ 利用这一刚性的不变量过滤机制，可以在考场上直接排除任何导致集合内部元素发生塌陷重叠的退化解，实现零失误的高效判定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷理-15 单-集合并集
• 2013-重庆卷理-01 单-集合并集
• 2014-辽宁卷理-01 单-集合并集