2012-天津卷理-06 单-解三角形

本题导读

本题考查正弦定理的边角互化，以及二倍角公式的运用。

📌【题干】

Question

（2012年天津卷(理)） 在 $△ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 所对的边分别是 $a,b,c$，已知 $8b=5c$，$C=2B$，则 $\cos C=$ ()

A. $\frac{7}{25}$　　　　B. $-\frac{7}{25}$　　　　C. $\pm \frac{7}{25}$　　　　D. $\frac{24}{25}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 边化角：由 $8b=5c$ 得 $\frac{b}{c}=\frac{5}{8}$，再用正弦定理换成 $\frac{\sin B}{\sin C}$。
2. 倍角展开：由 $C=2B$ 得 $\sin C=2\sin B\cos B$，约去 $\sin B$ 求出 $\cos B$。
3. 回代求值：$\cos C=\cos 2B=2{\cos }^{2}B-1$，算出数值后比对选项。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：边化角 由正弦定理 $\frac{b}{c}=\frac{\sin B}{\sin C}$，又 $8b=5c$，故 $\frac{\sin B}{\sin C}=\frac{b}{c}=\frac{5}{8}$

第二步：倍角展开 由 $C=2B$ 得 $\sin C=\sin 2B=2\sin B\cos B$，代入上式： $\frac{\sin B}{2\sin B\cos B}=\frac{5}{8}$ 因 $\sin B\ne 0$，得 $\cos B=\frac{4}{5}$。

第三步：求 $\cos C$ $\cos C=\cos 2B=2{\cos }^{2}B-1=2\times \frac{16}{25}-1=\frac{7}{25}$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理的边角互化，二倍角公式的余弦形式。

核心方法：边角互化——由边的比例关系转化为角的三角函数关系，再用倍角公式统一成单角。

避坑指南：由 $\cos B=\frac{4}{5}$ 可直接求 $\cos C$，但要注意 $\cos C=\cos 2B$ 用的是 $2{\cos }^{2}B-1$，而非 $1-2{\sin }^{2}B$ 的误代。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：由正弦定理与二倍角公式组合而成，属解三角形中”边角互化”的经典构型。

结论推广：若 $C=2B$，则 $c^2=b(a+b)$（可由 $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ 与倍角关系推出）。

方法推广：已知边的比例求角的三角函数值时，先”边化角”再统一角，是解三角形的通法。

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