2012-天津卷理-12 填-抛物线参数方程

本题导读

本题考查抛物线的参数方程，以及抛物线定义的应用。

📌【题干】

Question

（2012年天津卷(理)） 已知抛物线的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=2p{t}^2,\\ y=2pt,\end{array}$（$t$ 为参数），其中 $p>0$，焦点为 $F$，准线为 $l$，过抛物线上一点 $M$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $E$，若 $|EF|=|MF|$，点 $M$ 的横坐标是 $3$，则 $p=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 消参：由参数方程消去 $t$ 得标准方程 $y^2=2px$，写出焦点与准线。
2. 表示点：由 $M$ 的横坐标为 $3$ 写出 $M$ 与垂足 $E$ 的坐标（含 $p$）。
3. 列方程：用抛物线定义给出 $|MF|$，用两点距离给出 $|EF|$，令二者相等解 $p$。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：消去参数 由 $y=2pt$ 得 $t=\frac{y}{2p}$，代入 $x=2p{t}^2$ 得 $x=2p\cdot \frac{y^2}{4p^2}=\frac{y^2}{2p}$ 即抛物线标准方程为 $y^2=2px$（$p>0$），焦点 $F\left(\frac{p}{2},0\right)$，准线 $l:x=-\frac{p}{2}$。

第二步：写出相关点的坐标 点 $M$ 的横坐标为 $3$，由 $y^2=2p\times 3=6p$ 可设 $M\left(3,\sqrt{6p}\right)$，则垂足 $E\left(-\frac{p}{2},\sqrt{6p}\right)$。

第三步：分别计算两段长度 由抛物线定义，$|MF|$ 等于 $M$ 到准线的距离： $|MF|=3+\frac{p}{2}$ 由两点间距离公式： $|EF|=\sqrt{{\left(\frac{p}{2}+\frac{p}{2}\right)}^2+{\left(0-\sqrt{6p}\right)}^2}=\sqrt{p^2+6p}$

第四步：列方程求解 由 $|EF|=|MF|$ 得 $\sqrt{p^2+6p}=3+\frac{p}{2}$，两边平方： $p^2+6p=9+3p+\frac{p^2}{4}$ 整理得 $3p^2+12p-36=0$，即 $p^2+4p-12=0$，解得 $p=2$ 或 $p=-6$（舍去）。

故应填 $2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线的参数方程与标准方程的互化，抛物线的定义。

核心方法：公式法——消参得标准方程后，用定义把 $|MF|$ 转化为到准线的距离。

避坑指南：$y^2=2px$ 的焦点是 $\left(\frac{p}{2},0\right)$、准线是 $x=-\frac{p}{2}$（不是 $y^2=4px$ 形式下的 $p$ 与 $-p$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：由抛物线参数方程与定义的交汇构成，考查消参与焦半径。

结论推广：由 $|ME|=|MF|$（定义）与 $|EF|=|MF|$ 可知 $△MEF$ 为等边三角形，可直接得 $|EF|=\frac{2}{\sqrt{3}}\left(3-\left(-\frac{p}{2}\right)\right)$ 求解，更快捷。

方法推广：凡出现”到准线的垂足”，优先联想到抛物线的定义，把焦半径转化为到准线的距离。

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