2012-天津卷理-13 填-圆的切线

本题导读

本题考查切割线定理与相交弦定理，以及相似三角形的比例转化。

📌【题干】

Question

（2012年天津卷(理)） 如图，已知 $AB$ 和 $AC$ 是圆的两条弦，过点 $B$ 作圆的切线与 $AC$ 的延长线相交于点 $D$.过点 $C$ 作 $BD$ 的平行线与圆相交于点 $E$，与 $AB$ 相交于点 $F$，$AF=3$，$FB=1$，$EF=\frac{3}{2}$，则线段 $CD$ 的长为 $\underline{}$.

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🔍【思路分析】

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1. 抓平行：由 $CF\parallel BD$ 得相似，求出 $AC$ 与 $CD$ 的比例关系。
2. 相交弦定理：点 $F$ 在圆内，用 $FA\cdot FB=FC\cdot FE$ 求出 $FC$，再由相似求 $DB$。
3. 切割线定理：$D{B}^2=DC\cdot DA$，代入比例关系解出 $CD$。

✅【答案】

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$\frac{4}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：由平行得相似 因为 $CF\parallel BD$，所以 $△AFC\backsim △ADB$，于是 $\frac{AF}{AB}=\frac{AC}{AD}=\frac{FC}{DB}$ 由 $AF=3$，$AB=AF+FB=4$ 得 $\frac{AF}{AB}=\frac{3}{4}$。设 $CD=x$，$AC=y$，则 $\frac{y}{x+y}=\frac{3}{4}⟹y=3x$

第二步：由相交弦定理求 $FC$ 点 $F$ 在圆内，$FC\cdot FE=FA\cdot FB$，即 $FC\times \frac{3}{2}=3\times 1⟹FC=2$ 再由 $\frac{FC}{DB}=\frac{3}{4}$ 得 $DB=\frac{4}{3}\times 2=\frac{8}{3}$。

第三步：由切割线定理求 $CD$ $DB$ 为圆的切线，故 $D{B}^2=DC\cdot DA$，即 ${\left(\frac{8}{3}\right)}^2=x\cdot (x+y)=x\cdot 4x=4x^2$ $x^2=\frac{16}{9}⟹x=\frac{4}{3}$

故应填 $\frac{4}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：切割线定理、相交弦定理与相似三角形的综合应用。

核心方法：几何法——先由平行线得相似定出比例关系，再用圆幂定理建立方程。

避坑指南：$F$ 在圆内，用相交弦定理时是 $FC\cdot FE=FA\cdot FB$，两段是点 $F$ 到两个交点的距离，不要把 $CE$ 当整段代入。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源自初中平面几何中圆幂定理与相似三角形的综合，是”几何证明选讲”的典型构型。

结论推广：切割线定理 $D{B}^2=DC\cdot DA$、相交弦定理 $FA\cdot FB=FC\cdot FE$ 可统一为”圆幂定理”。

方法推广：圆中遇平行线先找相似，遇切线先想切割线定理，两条定理配合即可建立方程。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.07 圆幂定理

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-22 解-圆幂定理
• 2015-新课标II卷文-22 解-几何证明选讲
• 2013-江苏卷-21 解-几何证明选讲