2012-天津卷理-19 解-椭圆离心率

本题导读

本题考查椭圆的离心率与直线斜率关系的探究。核心在于坐标法、代数变形法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年天津卷(理)） 设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右顶点分别为 $A,B$，点 $P$ 在椭圆上且异于 $A,B$ 两点，$O$ 为坐标原点.

(1) 若直线 $AP$ 与 $BP$ 的斜率之积为 $-\frac{1}{2}$，求椭圆的离心率；

(2) 若 $|AP|=|OA|$，证明直线 $OP$ 的斜率 $k$ 满足 $|k|>\sqrt{3}$.

🔍【思路分析】

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1. 坐标化斜率：设 $P(x_0,y_0)$，写出 $k_{AP}$、$k_{BP}$，利用 $P$ 在椭圆上把 $y_0^2$ 换成 $x_0$ 的式子。
2. 得离心率：斜率之积恒为 $-\frac{b^2}{a^2}$，与 $-\frac{1}{2}$ 对照即得 $e$。
3. 第二问放缩：由 $|AP|=|OA|$ 列方程，设 $t=\frac{x_0}{a}$ 后用等式两边符号与大小关系夹出 $t$ 的范围，再算 $k^2$。

✅【答案】

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(1) $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

第一步：坐标化第 (1) 问 $A(-a,0)$，$B(a,0)$，设 $P(x_0,y_0)$ 在椭圆上且 $x_0\ne \pm a$。 $k_{AP}\cdot k_{BP}=\frac{y_0}{x_0+a}\cdot \frac{y_0}{x_0-a}=\frac{y_0^2}{x_0^2-a^2}$ 由 $P$ 在椭圆上，$y_0^2=b^2\left(1-\frac{x_0^2}{a^2}\right)=\frac{b^2\left(a^2-x_0^2\right)}{a^2}$，代入得 $k_{AP}\cdot k_{BP}=-\frac{b^2}{a^2}$ 由 $-\frac{b^2}{a^2}=-\frac{1}{2}$ 得 $\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{2}$，故 $e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

第二步：由 $|AP|=|OA|$ 列方程 由 $|AP|=|OA|=a$ 得 $(x_0+a{)}^2+y_0^2=a^2$。 设 $t=\frac{x_0}{a}\in (-1,1)$，$m=\frac{b^2}{a^2}\in (0,1)$，则 $y_0^2=m{a}^2\left(1-t^2\right)$，代入并除以 $a^2$： $(1+t{)}^2+m\left(1-t^2\right)=1$ 整理得 $m\left(1-t^2\right)=-t(t+2)(\ast )$

第三步：夹出 $t$ 的范围 若 $t\ge 0$，则 $(\ast )$ 左边 $m\left(1-t^2\right)>0$，右边 $-t(t+2)\le 0$，矛盾，故 $t<0$。 若 $t\le -\frac{1}{2}$，则 $-2t\ge 1$，于是 $-t^2-2t\ge 1-t^2>m\left(1-t^2\right)$，与 $(\ast )$ 矛盾。 故 $-\frac{1}{2}<t<0$。

第四步：估计 $|k|$ $k^2=\frac{y_0^2}{x_0^2}=\frac{m{a}^2\left(1-t^2\right)}{a^2{t}^2}=\frac{m\left(1-t^2\right)}{t^2}=\frac{-t(t+2)}{t^2}=-1-\frac{2}{t}$ 由 $-\frac{1}{2}<t<0$ 得 $-\frac{2}{t}>4$，故 $k^2>3$，即 $|k|>\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的离心率，点在椭圆上的坐标关系与斜率之积的定值结论。

核心方法：坐标法 + 代数变形——把 $y_0^2$ 用 $x_0$ 表示后整体代入，消去 $y_0$。

避坑指南：第二问不能直接用第一问的 $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$（两问相互独立）；判定 $t$ 的范围时用等式两边的符号与大小夹逼，别硬解二次方程。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：由椭圆的”第三定义”（斜率之积为定值）改编，是离心率问题的经典载体。

结论推广：椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上有 $k_{PA}\cdot k_{PB}=-\frac{b^2}{a^2}$（$A,B$ 为左右顶点），该值与 $P$ 的位置无关。

方法推广：圆锥曲线中”设点坐标 + 代入曲线方程消元”是处理斜率之积、距离条件的基本手法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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