2026-上海卷-12 填-椭圆离心率

本题导读

本题作为填空题的压轴题，考查椭圆的几何特征及离心率的计算。核心在于从椭圆的四个顶点与两个焦点组成的六个特征点中，通过三边长关系进行分类讨论，锁定其坐标轴上的线段组合形态。

📌【题干】

Question

（2026年上海卷）已知 $A$、 $B$、 $C$ 是椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的四个顶点与两个焦点中的三个点，且 $|AB|=5$， $|BC|=\sqrt{14}$， $|AC|=3$，则该椭圆的离心率为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析已知特征点的几何位置：

• 椭圆的特征点共有六个：左右顶点 $(\pm a,0)$，上下顶点 $(0,\pm b)$，左右焦点 $(\pm c,0)$。
• 这六个点全部位于坐标轴上。

2. 分析三边长特征：已知三边长为 $3,5,\sqrt{14}$。 由于 $3^2+(\sqrt{14}{)}^2=9+14=23\ne 5^2=25$，这三个点构成的 $△ABC$ 不是直角三角形。
3. 分类讨论点的轴向分布：

• 情形一：三个点中有两个点在同一轴上（关于原点对称或同侧），另一个点在另一轴上。
• 情形二：三个点全部在同一个坐标轴上。
• 结合椭圆固有的参数关系 $a^2=b^2+c^2$ 以及各特征点的距离可能性（如 $2a,2b,2c,a+c,a-c,\sqrt{a^2+b^2},\sqrt{c^2+b^2}=a$ ），代入数值进行严格的方程匹配。

✅【答案】

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$\frac{2}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

椭圆的六个特征点分别为：

• 轴上点（横轴）： $A_1(-a,0),A_2(a,0),F_1(-c,0),F_2(c,0)$
• 轴上点（纵轴）： $B_1(0,-b),B_2(0,b)$

由于所有特征点都分布在坐标轴上，且 $△ABC$ 三边长为 $3,5,\sqrt{14}$。 可知：

1. 同一坐标轴上两点间的距离可能为： $2a,2b,2c,a+c,a-c,a+c$(重复)等。
2. 跨坐标轴（一个在 $x$ 轴，一个在 $y$ 轴）两点间的距离可能为：

• 焦点到短轴顶点： $\sqrt{c^2+b^2}=a$
• 长轴顶点到短轴顶点： $\sqrt{a^2+b^2}$

下面依据三点在坐标轴上的分布进行分类穷举：

【情况1】三点中有两点在 $x$ 轴上，一点在 $y$ 轴上 设 $y$ 轴上的点为 $B_2(0,b)$。 $x$ 轴上的两点到 $B_2(0,b)$ 的距离只能是 $a$（若为焦点）或 $\sqrt{a^2+b^2}$（若为长轴顶点）。

• 若 $x$ 轴上的两点一个是焦点、一个是长轴顶点，且位于原点同侧。 则它们到 $y$ 轴顶点的距离分别为 $a$ 和 $\sqrt{a^2+b^2}$。 由于 $\sqrt{a^2+b^2}>a$，在已知的三边长中，跨轴距离只能从 $3,5,\sqrt{14}$ 中选择。

• 方案 A：令 $a=3$， $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{14}$。 则 $b^2=14-a^2=14-9=5⟹b=\sqrt{5}$。 此时由 $a^2=b^2+c^2⟹9=5+c^2⟹c^2=4⟹c=2$。 检验 $x$ 轴上两点间的距离： 若两点为同侧的顶点 $a$ 与焦点 $c$，间距为 $a-c=3-2=1\ne 5$（不符）； 若两点为异侧的顶点 $a$ 与焦点 $-c$，间距为 $a-(-c)=a+c=3+2=5$。 此时 $x$ 轴上两点间距为 5，恰好符合已知边长 5。 此时三个点分别为： $B_2(0,\sqrt{5})$， $A_2(3,0)$， $F_1(-2,0)$。 计算两两间距： $|A_2{F}_1|=3-(-2)=5$； $|B_2{F}_1|=\sqrt{(-2{)}^2+(\sqrt{5}{)}^2}=\sqrt{4+5}=3$； $|B_2{A}_2|=\sqrt{3^2+(\sqrt{5}{)}^2}=\sqrt{9+5}=\sqrt{14}$。 三边长完全匹配 $\{3,5,\sqrt{14}\}$。 此时椭圆的基本量为： $a=3,c=2$。 离心率为： $e=\frac{c}{a}=\frac{2}{3}$

• 方案 B：令 $a=3$， $\sqrt{a^2+b^2}=5$。 则 $b^2=25-9=16$。 此时 $a^2=9,b^2=16$，不满足椭圆中 $a>b$ 的定义，舍去。

• 方案 C：令 $a=\sqrt{14}$， $\sqrt{a^2+b^2}=5$。 则 $b^2=25-14=11$。 此时 $c^2=a^2-b^2=14-11=3⟹c=\sqrt{3}$。 $x$ 轴上两点间距应为剩余的边长 3。 但不管是 $a+c,a-c,2c$ 均不等于 3，舍去。

【情况2】三点全部在 $x$ 轴上 此时三点间的距离分别为 3 和 $\sqrt{14}$，且最大间距为 $3+\sqrt{14}=5$。 但 $3+\sqrt{14}\approx 3+3.74=6.74\ne 5$，不满足两部分段加和等于整体的单轴线段几何性质，舍去。

【情况3】两点在 $y$ 轴上，一点在 $x$ 轴上 $y$ 轴上只能有两个短轴顶点 $B_1(0,-b),B_2(0,b)$，其间距为 $2b$。 $x$ 轴上的一个点到这两个顶点的距离对称相等，即三角形必为以 $2b$ 为底边的等腰三角形。 但在已知边长 $3,5,\sqrt{14}$ 中没有相等的两项，故不可能构成等腰三角形，舍去。

综上所述，唯一合理为方案 A，对应的椭圆离心率为 $\frac{2}{3}$。

故答案为 $\frac{2}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆特征点的坐标标定；两点间距离公式（勾股定理）；离心率的定义（$e=\frac{c}{a}$）。
2. 核心方法：几何元素穷举匹配法。
3. 避坑指南：

• 遗漏 $a>b$ 的隐含约束。在方案 B 中算出的 $b>a$ 违背了焦点在 $x$ 轴上的椭圆标准方程定义，需及时剔除。
• 误认为跨轴必然垂直。本题中由于两点在 $x$ 轴同侧或异侧的不同组合，构成的是普通的斜三角形而非直角三角形，不能直接套用直角三角形的边长公式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题改编自经典的圆锥曲线特征性质图，将解析几何的解析法退化为纯粹的线段组合与数论方程匹配，是上海高考第 12 题（填空压轴位置）非常偏爱的数形逻辑推理题。
2. 结论推广：在标准椭圆中，若一个短轴顶点、一个长轴顶点、一个焦点构成三边长为 $d_1,d_2,d_3$ （$d_1<d_2<d_3$）的三角形，则必有： $d_1=a\text{或}{d}_1=\sqrt{b^2+c^2}$ 利用这一核心对齐特征，可在一分钟内对所有特征距离进行优先级排查。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷理-20 解-椭圆定义
• 2013-大纲卷理-08 单-椭圆性质
• 2013-江苏卷-12 填-椭圆方程与性质