2012-山东卷文-05 单-三角函数性质与复合命题

本题导读

本题考查三角函数的周期，以及三角函数的对称性。

📌【题干】

Question

（2012年山东卷(文)） 设命题 $p$：函数 $y=\sin 2x$ 的最小正周期为 $\frac{\pi }{2}$；命题 $q$：函数 $y=\cos x$ 的图象关于直线 $x=\frac{\pi }{2}$ 对称. 则下列判断正确的是()

A. $p$ 为真　　　B. $\neg q$ 为假　　　C. $p\wedge q$ 为假　　　D. $p\vee q$ 为真

🔍【思路分析】

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$p$ 假（周期为 $\pi$），$q$ 假（$x=\frac{\pi }{2}$ 不是对称轴），故 $p\wedge q$ 为假。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

对 $p$：$y=\sin 2x$ 的最小正周期 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi \ne \frac{\pi }{2}$，故 $p$ 为假。

对 $q$：取 $x=\frac{\pi }{2}$ 两侧对称点 $x=\frac{\pi }{2}\pm t$，$\cos \left(\frac{\pi }{2}+t\right)=-\sin t$，$\cos \left(\frac{\pi }{2}-t\right)=\sin t$，二者互为相反数，故 $y=\cos x$ 的图象关于 $x=\frac{\pi }{2}$ 不对称（$\cos x$ 的对称轴为 $x=k\pi$），$q$ 为假。

于是 $\neg q$ 为真，$p\wedge q$ 为假，$p\vee q$ 为假。故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数的周期与对称轴；复合命题（且、或、非）的真假判断

核心方法：先分别判定简单命题真假，再按”且一假即假、或一真即真”得出结论

避坑指南：$\sin \omega x$ 的周期是 $\frac{2\pi }{\omega }$，$\omega =2$ 时为 $\pi$；$\cos x$ 的对称轴是 $x=k\pi$，$x=\frac{\pi }{2}$ 处是零点而非对称轴。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角性质与逻辑联结词结合题，与 2013 年新课标Ⅰ文第 5 题、2013 年湖北卷文第 3 题同族。

结论推广：$y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的周期 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$；$y=\cos x$ 的对称轴为 $x=k\pi$。

方法推广：复合命题题先分头判真伪，再套真值表，避免直接凭印象选”且”或”或”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷文-05 单-复合命题真假
• 2013-湖北卷文-03 单-命题或且非
• 2013-山东卷文-08 单-充要条件逆否