2012-江西卷文-10 单-动点面积函数图象

本题导读

本题考查函数图象的识别，以及分段函数解析式。

📌【题干】

Question

（2012年江西卷(文)） 如图，$|OA|=2$（单位：m），$|OB|=1$（单位：m），$OA$ 与 $OB$ 的夹角为 $\frac{\pi }{6}$，以 $A$ 为圆心、$AB$ 为半径作圆弧 $\stackrel{⌢}{\mathrm{BDC}}$ 与线段 $OA$ 的延长线交于点 $C$.甲、乙两质点同时从点 $O$ 出发，甲先以速率 $1$（单位：m/s）沿线段 $OB$ 行至点 $B$，再以速率 $3$（单位：m/s）沿圆弧 $\stackrel{⌢}{\mathrm{BDC}}$ 行至点 $C$ 后停止；乙以速率 $2$（单位：m/s）沿线段 $OA$ 行至点 $A$ 后停止.设 $t$ 时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为 $S(t)$（$S(0)=0$），则函数 $y=S(t)$ 的图象大致是()

A. 　　　　　　　　　B. 　　　　　　　　　C. 　　　　　　　　　D.

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🔍【思路分析】

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初段 $S(t)=\frac{1}{2}{t}^2$ 是开口向上的抛物线段（越涨越快），末段为水平线，只有 (A) 符合，故选 A

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由余弦定理，$A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2-2\cdot OA\cdot OB\cdot \cos \frac{\pi }{6}=4+1-4\times \frac{\sqrt{3}}{2}=5-2\sqrt{3}$。

第一阶段（$0⩽t⩽1$）：甲到 $OB$ 上距 $O$ 为 $t$ 处，乙到 $OA$ 上距 $O$ 为 $2t$ 处，连线与路径围成三角形，

$S(t)=\frac{1}{2}\cdot t\cdot 2t\cdot \sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}{t}^2$，

图象是开口向上的抛物线段，斜率 $t$ 随 $t$ 增大而增大（“越涨越快”）。

第二阶段（$t>1$）：乙停在 $A$，甲沿圆弧行进，扫过面积的增速逐渐放缓；甲到达 $C$ 后两点连线与 $OA$ 重合，$S(t)$ 为定值（图中最后一段水平）。

对照四个选项：初段为下凸（增速渐增）的曲线段、随后趋于水平的只有 (A)。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数建模；三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$；函数图象的形状识别（凹凸性与水平渐近段）

核心方法：先写初段解析式确定图象形状（抛物线段），再看末段”面积不变”定水平段，两端夹出唯一选项

避坑指南：初段面积是 $\frac{1}{2}{t}^2$ 而不是 $t^2$（$\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$ 别漏乘）；若误以为初段是直线段就会错选 (B)。乙在 $t=1$ 时就停止，之后”两点连线”一端固定在 $A$，扫过面积增速放缓而不是继续匀速。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：动点面积函数图象识别题，与 2012 年山东卷文第 10 题、2013 年新课标Ⅰ文第 9 题同族。

结论推广：“两动点连线扫过面积”问题的通用套路：分段写 $S(t)$ 解析式，抓三要素——初段凹凸性、拐点（转折时刻）、末段是否水平。

方法推广：图象识别题优先算”第一段解析式”定凹凸性，再用”终点行为”（是否水平、终值大小）排除，不必全程精算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2012-山东卷文-10 单-函数图象识别
• 2013-新课标I卷文-09 单-函数图象识别
• 2012-重庆卷文-08 单-导数与函数图象