2012-山东卷文-21 解-椭圆与直线位置关系

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与离心率。核心在于联立法、分段讨论法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年山东卷(文)） 如图，椭圆 $M:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，直线 $x=\pm a$ 和 $y=\pm b$ 所围成的矩形 $ABCD$ 的面积为 $8$.

(1)求椭圆 $M$ 的标准方程；

(2)设直线 $l:y=x+m$（$m\in \mathbf{R}$）与椭圆 $M$ 有两个不同的交点 $P$，$Q$，$l$ 与矩形 $ABCD$ 有两个不同的交点 $S$，$T$. 求 $\frac{|PQ|}{|ST|}$ 的最大值及取得最大值时 $m$ 的值.

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🔍【思路分析】

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由 $e=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 与 $4ab=8$ 得 $a=2$，$b=1$，故 $M:\frac{x^2}{4}+y^2=1$；$\frac{|PQ|}{|ST|}$ 的最大值为 $\frac{2\sqrt{5}}{5}$，此时 $m=0$ 或 $m=\pm \frac{5}{3}$。

✅【答案】

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(1)$\frac{x^2}{4}+y^2=1$；(2)最大值为 $\frac{2\sqrt{5}}{5}$，此时 $m=0$ 或 $m=\pm \frac{5}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 得 $c^2=\frac{3}{4}{a}^2$，故 $b^2=a^2-c^2=\frac{1}{4}{a}^2$，即 $b=\frac{a}{2}$。

矩形 $ABCD$ 的边长为 $2a$ 与 $2b$，故 $4ab=8$，即 $ab=2$。

代入 $b=\frac{a}{2}$ 得 $\frac{a^2}{2}=2$，$a^2=4$，$b^2=1$，故 $M$ 的标准方程为 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$。

（2）把 $y=x+m$ 代入 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$：$x^2+4(x+m{)}^2=4$，即 $5x^2+8mx+4m^2-4=0$。

由 $\Delta =64m^2-20(4m^2-4)=80-16m^2>0$ 得 $|m|<\sqrt{5}$。

设 $P(x_1,y_1)$，$Q(x_2,y_2)$，则 $x_1+x_2=-\frac{8m}{5}$，$x_1{x}_2=\frac{4m^2-4}{5}$，

$|PQ|=\sqrt{1+1}\cdot \sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}=\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{80-16m^2}}{5}=\frac{4\sqrt{2}}{5}\sqrt{5-m^2}$。

再求 $|ST|$。$l$ 与矩形（$|x|⩽2$，$|y|⩽1$）的交点分两种情形：

当 $|m|⩽1$ 时，$l$ 分别交 $y=-1$ 与 $y=1$ 于 $(-1-m,-1)$、$(1-m,1)$，故 $|ST|=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$；

当 $1<|m|<\sqrt{5}$ 时（不妨设 $m>0$，另一侧由对称性同理），$l$ 分别交 $x=-2$ 与 $y=1$ 于 $(-2,m-2)$、$(1-m,1)$，故 $|ST|=\sqrt{(3-m{)}^2+(3-m{)}^2}=\sqrt{2}(3-|m|)$。

于是 $\frac{|PQ|}{|ST|}=\{\begin{array}{ll}\frac{2}{5}\sqrt{5-m^2},& |m|⩽1,\\ \frac{4}{5}\cdot \frac{\sqrt{5-m^2}}{3-|m|},& 1<|m|<\sqrt{5}.\end{array}$

情形一：$|m|⩽1$ 时，$\frac{2}{5}\sqrt{5-m^2}$ 关于 $|m|$ 递减，在 $m=0$ 处取得最大值 $\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

情形二：$1<|m|<\sqrt{5}$ 时，记 $u=|m|$，考察 $f(u)=\frac{\sqrt{5-u^2}}{3-u}$，$u\in (1,\sqrt{5})$。

由 $f^{\prime }(u)=\frac{5-3u}{\sqrt{5-u^2}(3-u{)}^2}$ 知 $f$ 在 $\left(1,\frac{5}{3}\right)$ 上递增、在 $\left(\frac{5}{3},\sqrt{5}\right)$ 上递减，故 $f(u)$ 的最大值为 $f\left(\frac{5}{3}\right)=\frac{\sqrt{5}}{2}$，此时 $\frac{|PQ|}{|ST|}=\frac{4}{5}\times \frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

两种情形最大值相同，故 $\frac{|PQ|}{|ST|}$ 的最大值为 $\frac{2\sqrt{5}}{5}$，此时 $m=0$ 或 $m=\pm \frac{5}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的离心率与标准方程；直线与椭圆的位置关系；弦长公式；直线被矩形截得线段长的分段讨论

核心方法：先由离心率与矩形面积求 $a$、$b$；再用弦长公式求 $|PQ|$，按 $l$ 与矩形交点的所在边界分段求 $|ST|$，最后求比值最值

避坑指南：矩形 $ABCD$ 的两条边长为 $2a$ 与 $2b$，面积是 $4ab$ 而非 $ab$；$|ST|$ 必须按 $l$ 与矩形哪两条边相交分段（$|m|⩽1$ 与 $1<|m|<\sqrt{5}$），只算一段会漏掉最大值；求最值时 $|m|$ 出现过两次，取到 $\frac{5}{3}$ 时不要漏掉 $m=0$ 也取到同一最大值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆与直线位置关系综合题，与 2013 年山东卷文第 22 题、2013 年山东卷理第 22 题同族。

结论推广：直线 $y=kx+m$ 交椭圆所得弦长 $|PQ|=\sqrt{1+k^2}\frac{\sqrt{\Delta }}{|A|}$（$A$ 为消元后二次项系数）。

方法推广：圆锥曲线最值题四步：定曲线方程 → 联立用韦达表示弦长 → 把几何条件（与矩形相交）分段写成函数 → 分段求最值并汇总。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-22 解-椭圆面积与向量比
• 2013-山东卷理-22 解-椭圆方程与性质
• 2014-山东卷理-10 单-椭圆定义与性质