2012-山东卷理-16 填-圆的滚动

本题导读

本题考查圆的滚动与三角函数定义的综合。

📌【题干】

Question

（2012年山东卷(理)）

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，一单位圆的圆心的初始位置在 $(0,1)$，此时圆上一点 $P$ 的位置在 $(0,0)$，圆在 $x$ 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于 $(2,1)$ 时，$\overrightarrow{OP}$ 的坐标为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 圆滚动 $2$ 单位，转过的角度为 $2$ 弧度。

2. 点 $P$ 相对圆心的位置由滚动角确定。

3. 求 $P$ 的坐标。

✅【答案】

点击查看答案

$(2-\sin 2,1-\cos 2)$

✍【详细解析】

Abstract

圆心从 $(0,1)$ 滚到 $(2,1)$，滚动弧长 $2$，转过的角 $\theta =2$ 弧度。

点 $P$ 相对圆心 $(2,1)$ 的位置为 $(-\sin 2,-\cos 2)$。

故 $\overrightarrow{OP}=(2-\sin 2,1-\cos 2)$。

故答案为 $(2-\sin 2,1-\cos 2)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的滚动

核心方法：三角函数的定义

避坑指南：坐标变换

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于圆的滚动问题

结论推广：可推广到摆线、旋轮线

方法推广：滚动弧长=圆心移动距离=半径×转角

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2005-江西卷理-18 解-平面向量的数量积坐标运算

• 2006-北京卷理-15 解-同角三角函数的基本关系

• 2008-江苏卷-15 解-三角定义求值