2012-广东卷理-17 解-频率直方图

本题导读

本题考查频率分布直方图的性质。核心在于面积守恒法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年广东卷(理)） 某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：$[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]$.

(1)求图中 $x$ 的值；

(2)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人，该 2 人中成绩在 90 分以上（含 90 分）的人数记为 $\xi$，求 $\xi$ 的数学期望.

🔍【思路分析】

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1. 第一问根据频率分布直方图的固有性质，所有矩形的面积之和（即各组频率之和）恒等于 1。已知组距为 10，直接列出关于 $x$ 的一元一次方程求解。
2. 第二问首先计算对应区间的人数。不低于 80 分的频率段为 $[80,90)$ 和 $[90,100]$，通过“总人数 $\times$ 频率”求出各自的频数。
3. 随机变量 $\xi$ 服从超几何分布，其可能取值为 0, 1, 2。利用古典概型与组合数公式分别计算出各个取值的对应概率，列出分布列，最后根据数学期望公式 $E\xi =\sum x_i{P}_i$ 计算出最终结果。

✅【答案】

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(1) $x=0.018$

(2) $E\xi =\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求图中 $x$ 的值

因为 频率分布直方图中各组距的长度（组距）均为 $10$，且所有矩形的面积总和等于 $1$， 所以 结合图中的纵坐标数据，列出面积守恒方程： $10\times 0.006+10\times 0.006+10\times 0.010+10\times 0.054+10\times x+10\times 0.006=1$

将相同项合并简化方程： $10\times (0.006\times 3+0.010+0.054+x)=1$ $10\times (0.018+0.010+0.054+x)=1$ $10\times (0.082+x)=1⟹0.82+10x=1$

移项并解得： $10x=0.18⟹x=0.018$

（2）求 $\xi$ 的数学期望

由题意及（1）可知：

• 成绩在 $[80,90)$ 段的频率为 $10\times x=10\times 0.018=0.18$，对应人数为 $50\times 0.18=9$ 人。
• 成绩在 $[90,100]$ 段的频率为 $10\times 0.006=0.06$，对应人数为 $50\times 0.06=3$ 人。

所以，成绩不低于 80 分的学生总人数为 $9+3=12$ 人。 其中，成绩在 90 分以上（含 90 分）的有 $3$ 人，成绩在 $[80,90)$ 段的有 $9$ 人。

从这 12 人中随机抽取 2 人，成绩在 90 分以上的人数 $\xi$ 的可能取值为 $0,1,2$。

结合组合数公式计算各基本事件的概率：

• 当 $\xi =0$ 时，表示抽到的 2 人全部在 $[80,90)$ 段： $P(\xi =0)=\frac{{\mathrm{C}}_9^2}{{\mathrm{C}}_{12}^2}=\frac{\frac{9\times 8}{2\times 1}}{\frac{12\times 11}{2\times 1}}=\frac{36}{66}=\frac{6}{11}$

• 当 $\xi =1$ 时，表示抽到的 2 人中 1 人在 $[80,90)$ 段，1 人在 90 分以上： $P(\xi =1)=\frac{{\mathrm{C}}_9^1\cdot {\mathrm{C}}_3^1}{{\mathrm{C}}_{12}^2}=\frac{9\times 3}{66}=\frac{27}{66}=\frac{9}{22}$

• 当 $\xi =2$ 时，表示抽到的 2 人全部在 90 分以上： $P(\xi =2)=\frac{{\mathrm{C}}_3^2}{{\mathrm{C}}_{12}^2}=\frac{3}{66}=\frac{1}{22}$

由此得到随机变量 $\xi$ 的分布列为：

$\xi$	0	1	2
$P$	$\frac{6}{11}$	$\frac{9}{22}$	$\frac{1}{22}$

根据离散型随机变量数学期望的定义，计算 $E\xi$： $E\xi =0\times \frac{6}{11}+1\times \frac{9}{22}+2\times \frac{1}{22}$ $E\xi =0+\frac{9}{22}+\frac{2}{22}=\frac{11}{22}=\frac{1}{2}$

所以， $\xi$ 的数学期望为 $\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：频率分布直方图的纵轴意义（频率/组距）、频数与频率的转化、超几何分布概率模型的构建与期望值计算。
2. 核心方法：

• 面积守恒法：计算直方图未知参数时，利用 $\sum (\text{矩形高度}\times \text{组距})=1$ 直接锁定。
• 超几何分布模型法：在有限总体的两个异质子集中抽取样本，属于标准的超几何分域计数结构。

3. 避坑指南：

• 直方图的纵坐标是 $\frac{\text{频率}}{\text{组距}}$，而非频率本身。在第一问计算中切勿直接将各个纵坐标相加等于 1，必须乘以组距 $10$。
• 分布列求出后，务必养成自检习惯，核对各分项概率之和是否等于 1： $\frac{12}{22}+\frac{9}{22}+\frac{1}{22}=1$，确认无误后再计算期望。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第三册第七章《随机变量及其分布》中关于超几何分布和期望计算的经典高考解答题。
2. 结论推广：对于服从超几何分布 $X\sim H(N,Y,n)$ 的随机变量（即总体大小为 $N$，其中目标元素有 $Y$ 个，随机不放回抽取 $n$ 个），其数学期望满足固定的结构通式： $EX=n\cdot \frac{Y}{N}$。代入本题参数进行快速校验：已知抽取样本数 $n=2$，目标总体数 $Y=3$，总边界数 $N=12$，可直接秒算出： $E\xi =2\times \frac{3}{12}=\frac{1}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算

• 23.04 二项分布与超几何分布 类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-19 解-分布列

• 2004-全国卷II理-13 填-离散型随机变量的分布列

• 2008-大纲卷I理-20