2013-北京卷文-11 填-等比数列求和

本题导读

本题考查等比数列的通项公式，以及等比数列的前n项和。

📌【题干】

Question

（2013年北京卷(文)） 若等比数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_2+a_4=20$，$a_3+a_5=40$，则公比 $q=$ $\underline{}$；前 $n$ 项和 $S_n=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. $a_3+a_5=q(a_2+a_4)\Rightarrow q=2$。
2. $a_2+a_4=a_{1}q(1+q^2)=20\Rightarrow a_1=2$。
3. $S_n=\frac{2(2^n-1)}{2-1}=2^{n+1}-2$。

✅【答案】

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$2$；$2^{n+1}-2$

✍【详细解析】

Abstract

由等比数列定义，$a_3=q{a}_2$，$a_5=q{a}_4$，故 $a_3+a_5=q(a_2+a_4).$ 代入 $a_2+a_4=20$，$a_3+a_5=40$： $40=20q⟹q=2.$ 又 $a_2+a_4=a_{1}q+a_1{q}^3=a_{1}q(1+q^2)$，即 $20=a_1\times 2\times 5⟹a_1=2.$ 于是 $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{2(1-2^n)}{1-2}=2(2^n-1)=2^{n+1}-2.$ 所以 $q=2$，$S_n=2^{n+1}-2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列的通项与求和

核心方法：$a_3+a_5=q(a_2+a_4)$ 定 $q$，再求 $a_1$，套 $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$

避坑指南：两条整体条件相除最省力：$\frac{a_3+a_5}{a_2+a_4}=q=2$；求 $S_n$ 时 $1-q=-1$，结果 $S_n=2^{n+1}-2$——指数别写成 $2^n$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列的基本量与求和（全国卷必考）。

结论推广：等比数列：$a_n=a_1{q}^{n-1}$；$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$（$q\ne 1$）。

方法推广：两条组合条件：相除先定 $q$，再代回定 $a_1$，最后写 $S_n$ 并化简为指数形式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-07 单-等比数列求和
• 2015-北京卷文-16 解-等差数列