2012-新课标卷理-12 单-距离的最值

本题导读

本题考查两曲线间距离的最小值，以及对称性的转化。

📌【题干】

Question

（2012年新课标卷(理)）

设点 $P$ 在曲线 $y=\frac{1}{2}{e}^x$ 上，点 $Q$ 在曲线 $y=\ln (2x)$ 上，则 $|PQ|$ 的最小值为

()

A. $1-\ln 2$

B. $\sqrt{2}(1-\ln 2)$

C. $1+\ln 2$

D. $\sqrt{2}(1+\ln 2)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $y=\frac{1}{2}{e}^x$ 与 $y=\ln (2x)$ 互为反函数，关于 $y=x$ 对称。

2. 最小距离在 $y=x$ 的法线方向取得。

3. 转化为点到直线的距离。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

$y=\frac{1}{2}{e}^x$ 与 $y=\ln (2x)$ 关于 $y=x$ 对称。

两曲线上点 $P,Q$ 的最小距离 $=$ 曲线到 $y=x$ 的最小距离的 $\sqrt{2}$ 倍。

设 $y=\frac{1}{2}{e}^x$ 上点 $P$ 到 $y=x$ 距离最小：由 $\frac{1}{2}{e}^x=x$（切线斜率 $=1$ 处）得 $\frac{1}{2}{e}^x=1$，$x=\ln 2$。

点 $(\ln 2,1)$ 到 $y=x$ 距离 $=\frac{1-\ln 2}{\sqrt{2}}$，故 $|PQ{|}_{\min }=\sqrt{2}\cdot \frac{1-\ln 2}{\sqrt{2}}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{2}(1-\ln 2)$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两曲线间的距离

核心方法：反函数与对称性

避坑指南：点到直线的距离

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于距离的最值问题

结论推广：可推广到两反函数曲线间距离

方法推广：利用 $y=x$ 对称性把曲线间距离化为点到直线距离

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.05 对称性问题

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷理-12 填-全排列模型的对等对称性

• 2005-天津卷理-16 填-奇函数零点性质

• 2005-广东卷-19 解-函数的对称性