2007-大纲卷II理-14 填-概率区间转化

本题导读

本题考查正态分布曲线的对称性应用。正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的图形是一条关于直线 $x=\mu$ 刚性轴对称的钟形曲线，利用对称轴两侧面积相等的性质可直接求得目标区间的概率。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷II(理)） 在某项测量中，测量结果 $\xi$ 服从正态分布 $N(1,{\sigma }^2)(\sigma >0)$. 若 $\xi$ 在 $(0,1)$ 内取值的概率为 0.4，则 $\xi$ 在 $(0,2)$ 内取值的概率为________。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 提取对称轴：由 $\xi \sim N(1,{\sigma }^2)$ 知，该正态分布曲线的对称轴为直线 $x=1$。
2. 分析已知区间与对称轴的关系：已知 $P(0<\xi <1)=0.4$。区间 $(0,1)$ 恰好是轴左侧长度为 1 的对称区间。
3. 利用对称性映射目标区间：

• 目标区间 $(0,2)$ 关于对称轴 $x=1$ 呈完美左右对称。
• 因此，右半部分区间 $(1,2)$ 的概率与左半部分 $(0,1)$ 的概率完全相等，即 $P(1<\xi <2)=P(0<\xi <1)=0.4$。

4. 两区间相加： $P(0<\xi <2)=P(0<\xi <1)+P(1<\xi <2)$。

✅【答案】

点击查看答案

0.8

✍【详细解析】

Abstract

解：因为测量结果 $\xi$ 服从标准正态分布 $N(1,{\sigma }^2)$， 根据正态分布曲线的性质，其密度函数图象关于均值直线 $x=1$ 严格轴对称。

已知 $\xi$ 在区间 $(0,1)$ 内取值的概率为： $P(0<\xi <1)=0.4$

由于区间 $(0,1)$ 与区间 $(1,2)$ 关于直线 $x=1$ 呈严格的镜像对称， 因此这两部分图形下方的面积（即对应的积分概率）完全相等： $P(1<\xi <2)=P(0<\xi <1)=0.4$

由于两个开区间互斥，要求解的 $\xi$ 在区间 $(0,2)$ 内取值的概率可以直接由这两部分相加拼凑获得： $P(0<\xi <2)=P(0<\xi <1)+P(1<\xi <2)=0.4+0.4=0.8$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正态分布位置参数 $\mu$ 决定对称轴、关于 $\mu$ 对称的等长区间概率相等。
2. 核心方法：数形结合图象割补法。
3. 避坑指南：

• 属于填空题中极基础的送分题。遇到正态分布，第一反应必须是先在草稿纸上画个钟形简图并标出中心对称轴，所有区间比例在图上一目了然，可实现快速口算。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正态分布的定义与图象特征、正态曲线的对称性是大纲卷II(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是正态分布的定义与图象特征、正态曲线的对称性的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用数形结合对称轴法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.05 正态分布

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷理-15 填-正态分布与概率
• 2008-重庆卷理-05 单-正态分布
• 2012-新课标卷理-12 单-距离的最值