2014-四川卷理-17 解-随机变量的分布列

本题导读

本题以一款小游戏为背景，考查概率统计的基础应用。第一问要求建立分布列；第二问利用对立事件求解多次试验的概率；第三问通过计算数学期望解释现实中的“亏损”现象，体现了数学在生活决策中的应用。

📌【题干】

Question

（2014年四川卷(理)） 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 $10$ 分，出现两次音乐获得 $20$ 分，出现三次音乐获得 $100$ 分，没有出现音乐则扣除 $200$ 分（即获得 $-200$ 分）.设每次击鼓出现音乐的概率为 $\frac{1}{2}$，且各次击鼓出现音乐相互独立.

(1) 设每盘游戏获得的分数为 $X$，求 $X$ 的分布列；

(2) 玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

(3) 玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：建立分布列
   • 设一盘游戏中击鼓出现音乐的次数为 $\xi$，则 $\xi \sim B(3,\frac{1}{2})$。
   • $X$ 的取值对应 $\xi$ 的取值：$\xi =0\to X=-200$，$\xi =1\to X=10$，$\xi =2\to X=20$，$\xi =3\to X=100$。
   • 利用二项分布公式 $P(\xi =k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$ 计算概率。
2. 第二问：求解概率
   • “至少有一盘出现音乐”的对立事件是“三盘都没有出现过音乐”。
   • 先求出一盘游戏中“没有音乐（即 $\xi =0$）”的概率 $p_0$。
   • 结果为 $1-p_0^3$。
3. 第三问：期望分析
   • 计算 $X$ 的数学期望 $E(X)$。
   • 若 $E(X)<0$，说明从长期来看，玩家平均每盘都在扣分。

✅【答案】

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第 (1) 小题：求 $X$ 的分布列；第 (2) 小题：求概率；第 (3) 小题：分析原因

✍【详细解析】

Abstract

第 (1) 小题：求 $X$ 的分布列

设一盘游戏中出现音乐的次数为 $\xi$， 则 $P(\xi =k)=C_3^k(\frac{1}{2}{)}^3$.

• $P(X=-200)=P(\xi =0)=C_3^0(\frac{1}{2}{)}^3=\frac{1}{8}$
• $P(X=10)=P(\xi =1)=C_3^1(\frac{1}{2}{)}^3=\frac{3}{8}$
• $P(X=20)=P(\xi =2)=C_3^2(\frac{1}{2}{)}^3=\frac{3}{8}$
• $P(X=100)=P(\xi =3)=C_3^3(\frac{1}{2}{)}^3=\frac{1}{8}$ 所以 $X$ 的分布列为：

$X$	$-200$	$10$	$20$	$100$
$P$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

第 (2) 小题：求概率 一盘游戏中，“出现音乐”的对立事件是“没有出现音乐”。 由 (1) 知，一盘游戏没有出现音乐的概率为 $P(X=-200)=\frac{1}{8}$。 则玩三盘游戏，三盘都没有出现音乐的概率为 $(\frac{1}{8}{)}^3=\frac{1}{512}$。 所以，至少有一盘出现音乐的概率为： $P=1-\frac{1}{512}=\frac{511}{512}$

第 (3) 小题：分析原因 计算每盘游戏得分的数学期望： $E(X)=-200\times \frac{1}{8}+10\times \frac{3}{8}+20\times \frac{3}{8}+100\times \frac{1}{8}$ $E(X)=\frac{-200+30+60+100}{8}=\frac{-10}{8}=-1.25$ 因为每盘游戏所得分数的期望为负数（$-1.25$），说明根据大数定律，随着游戏盘数的增加，总得分趋于减少的可能性极大。这就是分数没有增加反而减少的原因。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项分布与离散型随机变量的分布列、期望

2. 核心方法：先确定取值对应的音乐次数，再用二项分布公式求概率

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 二项分布与对立事件、大数定律

2. 结论推广: 期望为负说明长期平均得分下降。

3. 方法推广: 概率决策问题可借助期望分析平均收益

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 23.04 二项分布与超几何分布
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2026-上海卷-08 填-分布列
• 2013-浙江卷理-19 解-分布列
• 2013-江西卷理-18 解-分布列