2012-江西卷文-13 填-等比数列递推定公比

本题导读

本题考查等比数列的通项与公比，以及递推式与等比数列的匹配。

📌【题干】

Question

（2012年江西卷(文)） 等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，公比不为 $1$.若 $a_1=1$，且对任意的 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，都有 $a_{n+2}+a_{n+1}-2a_n=0$，则 $S_5=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$q^2+q-2=0\Rightarrow q=-2$，$S_5=\frac{1-(-2{)}^5}{1-(-2)}=\frac{33}{3}=11$。

✅【答案】

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$11$

✍【详细解析】

Abstract

$\{a_n\}$ 是等比数列，设公比为 $q$。$a_n\ne 0$，将 $a_{n+2}+a_{n+1}-2a_n=0$ 两边除以 $a_n$：

$q^2+q-2=0$，即 $(q+2)(q-1)=0$。

由题设 $q\ne 1$，故 $q=-2$。

$S_5=\frac{1\times (1-(-2{)}^5)}{1-(-2)}=\frac{1+32}{3}=\frac{33}{3}=11$。

（逐项验证：$1-2+4-8+16=11$，一致。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列递推式化公比方程；公比的取舍；求和公式 $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$

核心方法：递推式各项同除以 $a_n$ 化为公比的二次方程，结合 $q\ne 1$ 定根，再套求和公式

避坑指南：$q=1$ 是方程的根但被题设排除，不能保留；$q=-2$ 时各项正负交错，$(-2{)}^5=-32$，求和公式分子是 $1-(-32)=33$，符号错了结果会差很多。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：由递推条件定等比数列公比再求和题，与 2012 年辽宁卷文第 14 题、2012 年新课标Ⅰ文第 14 题同族。

结论推广：形如 $a_{n+2}+p{a}_{n+1}+q{a}_n=0$ 的递推在等比数列中对应 $q^2+pq+q=0$；$q=-2$、$a_1=1$ 时 $S_n$ 的奇偶项规律：$S_{2k+1}$ 为正、$S_{2k}$ 为负。

方法推广：递推式与”等比”绑定后，第一步永远是同除 $a_n$ 化公比方程，并核对排除 $q=1$ 等被禁的根。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2012-辽宁卷文-14 填-等比数列公比
• 2012-新课标卷文-14 填-等比数列公比
• 2012-广东卷文-12 填-等比数列的性质