2012-辽宁卷文-14 填-等比数列公比

本题导读

本题考查等比数列的基本量运算，以及一元二次方程的求解。

📌【题干】

Question

（2012年辽宁卷(文)） 已知等比数列 $\{a_n\}$ 为递增数列.若 $a_1>0$，且 $2(a_n+a_{n+2})=5a_{n+1}$，则数列 $\{a_n\}$ 的公比 $q=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$2q^2-5q+2=0$，$q=2$ 或 $q=\frac{1}{2}$；由递增且 $a_1>0$ 取 $q=2$。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

设公比为 $q$，则 $a_{n+1}=a_{n}q$，$a_{n+2}=a_n{q}^2$。

代入 $2(a_n+a_{n+2})=5a_{n+1}$，约去 $a_n$（等比数列各项不为零）得

$2(1+q^2)=5q$，即 $2q^2-5q+2=0$，解得 $q=2$ 或 $q=\frac{1}{2}$。

若 $q=2$，由 $a_1>0$ 知数列各项为正且逐项增大，是递增数列；

若 $q=\frac{1}{2}$，数列逐项减小，不合题意。

故 $q=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列的通项与公比；递增数列的条件

核心方法：递推关系化为关于 $q$ 的二次方程，再由单调性与 $a_1$ 的符号筛根

避坑指南：“递增数列且 $a_1>0$“要求 $q>1$；若 $a_1<0$，递增数列反而对应 $0<q<1$，两个条件必须同时看，只看其中一个会保留错误根。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列基本量与单调性结合题，与 2012 年新课标Ⅰ文第 14 题、2013 年辽宁卷文第 14 题同族。

结论推广：等比数列单调性：$a_1>0$ 时，$q>1$ 递增、$0<q<1$ 递减；$a_1<0$ 时恰好相反；$q<0$ 时摆动数列无单调性。

方法推广：数列递推式中同时含 $a_n$，$a_{n+1}$，$a_{n+2}$ 时，除以中间项化为公比的方程是标准动作。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷文-14 填-等比数列公比
• 2013-辽宁卷文-14 填-等比数列基本量
• 2012-广东卷文-12 填-等比数列的性质