2012-江西卷文-14 填-切线夹角定点坐标

本题导读

本题考查点到直线的距离，以及圆的切线长与切线夹角。

📌【题干】

Question

（2012年江西卷(文)） 过直线 $x+y-2\sqrt{2}=0$ 上的点 $P$ 作圆 $x^2+y^2=1$ 的两条切线，若两条切线的夹角是 $60^{\circ }$，则点 $P$ 的坐标是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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夹角半角 $30^{\circ }$，$|OP|=\frac{r}{\sin 30^{\circ }}=2$；直线 $x+y=2\sqrt{2}$ 到原点距离 $=2$，切点即 $P=(\sqrt{2},\sqrt{2})$。

✅【答案】

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$(\sqrt{2},\sqrt{2})$

✍【详细解析】

Abstract

设圆心为原点 $O$，半径 $r=1$。$P$ 向圆引两条切线，切点分别为 $T_1$、$T_2$，则 $O{T}_1\perp P{T}_1$，且 $OP$ 平分 $\angle T_{1}P{T}_2$。

两切线夹角为 $60^{\circ }$，故 $\angle T_{1}PO=30^{\circ }$，在直角三角形 $O{T}_{1}P$ 中 $\sin 30^{\circ }=\frac{O{T}_1}{OP}=\frac{1}{|OP|}$，得 $|OP|=2$。

即 $P$ 到原点距离为 $2$，又 $P$ 在直线 $x+y=2\sqrt{2}$ 上。原点到该直线的距离 $d=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2$，说明直线与圆 $x^2+y^2=4$ 相切，公共点唯一，即垂足（切点）。

过原点作垂线 $y=x$，与 $x+y=2\sqrt{2}$ 联立得 $x=y=\sqrt{2}$，故 $P=(\sqrt{2},\sqrt{2})$。

（验证：$|OP|=\sqrt{2+2}=2$，两切线夹角 $2\arcsin \frac{1}{2}=60^{\circ }$，满足题设。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：切线长定理与切线夹角；点到直线的距离公式；直线与圆相切的判定

核心方法：用”夹角一半的正弦 $=$ 半径 $÷$ 点到圆心距离”求出 $|OP|$，再说明 $P$ 恰为直线与半径为 $2$ 的圆的切点

避坑指南：$P$ 必须同时满足两个条件：在已知直线上、到原点距离为 $2$。求出 $|OP|=2$ 后若直接猜坐标容易漏验证；先算直线到原点距离恰为 $2$，可断定 $P$ 是唯一切点，坐标随之确定。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆的切线夹角与点坐标题，与 2012 年辽宁卷文第 20 题的双切线结构、2013 年陕西卷文第 8 题同族。

结论推广：过半径 $r$ 的圆外一点 $P$ 引两条夹角为 $\theta$ 的切线，则 $|OP|=\frac{r}{\sin \frac{\theta }{2}}$；点到直线距离恰等于某定值时，常意味着交点唯一（相切）。

方法推广：切线夹角问题先在”圆心—切点—P”直角三角形中转化角度，再用距离条件定位 $P$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2012-北京卷文-09 填-直线与圆弦长
• 2012-天津卷文-12 填-直线与圆弦长三角形面积
• 2013-陕西卷文-08 单-直线与圆位置关系