2012-江西卷理-02 单-不等式

本题导读

本题考查函数定义域的求法，以及分式分母不为零的原则。

📌【题干】

Question

（2012年江西卷(理)） 下列函数中，与函数 $y=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ 定义域相同的函数为 ()

A. $y=\frac{1}{\sin x}$　　　　B. $y=\frac{\ln x}{x}$　　　　C. $y=x{e}^x$　　　　D. $y=\frac{\sin x}{x}$

🔍【思路分析】

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1. 首先求解已知目标函数 $y=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ 的定义域。由于立方根 $\sqrt[3]{x}$ 的自变量 $x$ 可取任意实数，但该根式位于分母位置，因此分母不能为零，即 $x\ne 0$。目标定义域为 $\{x\mid x\ne 0\}$。
2. 依次计算四个选项中各函数的定义域：

• 选项 (A)：分母 $\sin x\ne 0$，求解三角方程确定其不等于 $k\pi$。
• 选项 (B)：分子包含对数 $\ln x$，要求真数 $x>0$，同时满足分母 $x\ne 0$。
• 选项 (C)：整式形式，自变量无任何约束。
• 选项 (D)：分母 $x\ne 0$。

3. 比较各集合，找出与目标定义域完全一致的选项。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

对于目标函数 $y=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$： 因为 立方根的被开方数 $x\in \mathbf{R}$，而分式分母不能为 0， 所以 约束条件为 $x\ne 0$。 其定义域集合为： $D_0=\{x\mid x\in \mathbf{R},x\ne 0\}$。

接下来分析各选项函数的定义域：

• 对于 (A) $y=\frac{1}{\sin x}$： 要求分母 $\sin x\ne 0$，解得 $x\ne k\pi (k\in \mathbf{Z})$。其定义域为 $\{x\mid x\ne k\pi ,k\in \mathbf{Z}\}$，与 $D_0$ 不同。

• 对于 (B) $y=\frac{\ln x}{x}$： 要求对数真数 $x>0$，且分母 $x\ne 0$，综合得 $x>0$。其定义域为 $\{x\mid x>0\}$，与 $D_0$ 不同。

• 对于 (C) $y=x{e}^x$： 属于初等整式复合形式，自变量 $x$ 可取任意实数。其定义域为 $\mathbf{R}$，与 $D_0$ 不同。

• 对于 (D) $y=\frac{\sin x}{x}$： 分子 $\sin x$ 的自变量 $x\in \mathbf{R}$，分母要求 $x\ne 0$。其定义域为 $\{x\mid x\in \mathbf{R},x\ne 0\}$，与 $D_0$ 完全相同。

故选 D#### 💡【考点归纳与避坑指南】 [!danger]

1. 核心考点：函数定义域的代数约束条件（分母不为零、对数真数大于零）。
2. 核心方法：约束条件联立求解法。
3. 避坑指南：

• 误认为 $\sqrt[3]{x}$ 在根号下就必须满足 $x\ge 0$。需要牢记奇次根式的被开方数可以为任意实数，只有偶次根式（如平方根）才要求非负。
• 选项 (D) 中的 $\frac{\sin x}{x}$ 虽在高等数学中当 $x\to 0$ 时极限为 1，但在初等函数定义域层面， $x=0$ 处分母无意义，必须在定义域中剔除。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学必修第一册第二章《一元函数、导数及其应用》中关于函数概念与定义域求解的基础练习题。
2. 结论推广：确定复合初初等函数的定义域，本质上是求解由各项代数限制构成的非线性不等式组。常见限制模型包括：① 分式分母 $f(x)\ne 0$；② 偶次根式被开方数 $f(x)\ge 0$；③ 对数真数 $f(x)>0$，底数 $g(x)>0$ 且 $g(x)\ne 1$；④ 零指数幂的底数 $f(x)\ne 0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

• 06.01 幂指对函数图象与性质 类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-13 填-根式对数定义域

• 2008-湖北卷文-08 单-复合函数定义域

• 2009-江西卷理-02 单-对数