本题导读
本题考查归纳推理，以及斐波那契数列与卢卡斯数列。
📌【题干】
Question
（2012年江西卷(理)） 观察下列各式： , , , , , , 则 ()
A. 28 B. 76 C. 123 D. 199
🔍【思路分析】
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- 提取已知各式右端计算结果组成的数列： 。
- 纵向观察该数列相邻各数之间的加变关联：
- （第一项 第二项 第三项）
- （第二项 第三项 第四项）
- （第三项 第四项 第五项）
- 归纳推理得出普遍规律：设 ，则对任意 ，恒满足递推关系式： 。
- 沿着该递推模型依次向后逐项累加，直到计算出 的值。
✅【答案】
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C
✍【详细解析】
Abstract
令 。 由题意，已知前五项的代数结果分别为：
观察各数值之间的算术联系，可以发现：
由此归纳出该数列的通用递推关系为：从第三项起，每一项都等于其前相邻两项的和，即 。
这个递推不是”看出来的”，可以严格验证：由 与 得 ，于是 即 对一切 恒成立，与具体的 取值无关（ 为一元二次方程 的两根）。
根据该递推关系，依次向后计算后续各项的值：
- 第六项：
- 第七项：
- 第八项：
- 第九项：
- 第十项：
所以， 。
故选 C#### 💡【考点归纳与避坑指南】 [!danger]
- 核心考点：数列递推关系的归纳能力、合情推理的基本步骤。
- 核心方法：逐项累加递推法。
- 避坑指南：
- 递推求值属于链式运算，前一步的失误会导致后面全错。在累加计算 到 的过程中，务必确保每一步整数加法的准确性，避免低级计算失误。例如不要误把 算成 。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第三册第八章《成对数据的相关分析与合情推理》中关于归纳推理的经典高考真题。在组合数学中，该特定数列被称为卢卡斯数列（Lucas Sequence），记作 。
- 结论推广：卢卡斯数列 与著名的斐波那契数列 （ ）共享完全相同的递推特征 ，其特征根方程为 。通过代数推导，卢卡斯数列与斐波那契数列之间存在确定的恒等式对齐模型： 。本题中 。
🔗【关联脉络】
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